学好数学,学会做人

学会做人不仅仅是爱国、公德、人格、品质,还有更多的内容,刚强的毅力、灵活的方法、缜密的态度、创新的举动,而这些正是数学学习的重要内容,也是我们数学教师在教学中渗透德育教育的好机会。

据调查,在我们宁波市的校级领导人中,数学出身的比例最高,而且高得很多,这与数学的特殊功能—-“学会做人”是分不开的。

数学是锻炼思维的体操,培养能力的运动,学会做人的集训。初中数学与“学会做人”到底有多大关系呢?关系很大!有些学生不会解数学题,不是因为缺少数学知识,也不是缺少数学能力,而是缺少人的一种品质,缺少一种胆量、谋略和理念。甚至是某种人格的缺失。你可能会质疑:有这么严重吗?

有些人学不好数学,和他的性格很有关系,某种性格的人这辈子是不可能学好数学的,除非改性格,但是江山易改,本性难移。或者靠那些“能让猪猪开飞机”的老师进行题海战术,机械的重复,死板的记忆,获得暂时的成绩,这些人到了高中学好数学依然是不可能的。

这里我想说,“能让猪猪开飞机”的老师是教育界的罪人,因为你将毫无学习能力的人硬生生地塞进了重点高中,而排挤了那些各种能力超群、学习成绩欠佳的学生。这是教育界的杯具,是中国的杯具。

为了使大家看到数学与做人的关系,先看看学会做人到底还涉及哪些内容。

  • 反面思考 :生活工作都需要反面考虑问题,才能起到事半功倍的效果。例如大风天关不住门,可以先关窗;要交一个朋友,可以先反对他的敌人。
  • 锻炼胆魄:没有胆略谋不成大事,没有胆魄干不成大事。
  • 心想事成:心想事才成,异想天能开。
  • 学会利用:当今社会互相利用是一种手段。没有这种手段的人,做任何事都要另辟蹊径,这种人被视为缺少办事能力。
  • 选择方法 :会选择合理方法的人,做事总是事半功倍的。
  • 按部就班:有计划、有步骤地做事和毫无头绪的瞎做,是体现了两种不同人的处世观
  • 热爱生活 :只有热爱生活的人才是乐观的,只有热爱生活的人才会继续追求更好的生活。
  • 打破常规:墨守陈规,无所作为。马克思主义活的灵魂是什么?马克思主义哲学的一条基本原则是什么?对了,具体问题具体分析。不能一概而论,不能一刀切。
  • 学会模仿 :从幼儿园开始,小朋友在老师的指导下进行模仿。“请你跟我这样做,我就跟你这样做”是幼儿园最常见的游戏。在工作和生活中,模仿可以直接或间接地借用别人或自己的经验。
  • 细心细致:细微之处见精神,仔细认真才能办好事。
  • 知难而退:“明知山有虎,偏向虎山行”这是有勇无谋的表现。知难而退,另辟蹊径,是明智的选择。
  • 预见未来:做一件事情前先预见可能的结果,做这一步预见下一步,这是一个人做事的基本准则。这里既有推理能力问题,也有思考习惯问题。
  • 避难就易:有几件事情等待你做,你应该先做容易的,再做难的。
  • 旁门左道:有时常规的方法很难解决问题,有时走正道的能力不够,你不妨走旁门左道,这似乎是不正当手段,只要能解决问题,只要不违法,黑猫白猫都是好猫。

以上做人的内容在数学学习中是一致的,只是我们有时没有及时把握。下面我用具体的例子来说明数学教学中是怎样培养学生这些能力的。

一、反面思考

我在以前写过《“考虑问题反面”是解决问题的重要方法》。所以在这儿就不再举例。

二、锻炼胆魄

例1  在5×5的正方形网格中已有一个三角形,请你在其中画出一个最大的格点三角形,使它与已有的三角形相似。

做这道题就可以分出两种人来,一种做法是:将原三角形的边长扩大2倍或\sqrt{5}倍,以为这样得到的三角形最大了。另一种是:在网格中画一条最长的线段(对角线)作为三角形的最大边,再分析一下其余两边怎样画。前者缺乏胆量,后者虽然有点风险,但成功的希望很大,就算失败,也可以及时调整,今后适合于搞投资、企业什么的。

三、心想事成

例2  如图,抛物线y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x+3)(x-1)与x轴交于A、B,与y轴交于C,过A,C,O作圆,E在第三象限,CE交x轴于D,交劣弧AO于P, DE=2,当P在何处时AE是圆的切线?

由抛物线的解析式可知,AO=3,CO=\sqrt{3},要使AE是圆的切线,就必须AE⊥AC。

由ED=2,是否会有AD=2,△AED是正三角形呢?如果是的话,就有OD=1,∠ACE=∠OCE=30°,于是P为弧AO之中点。

上面的猜想是否会“心想事成”呢?这个证明其实不难。事实上,由P为弧AO之中点,可得∠ACE=∠OCE=30°,也就易证△AED是正三角形,故AE⊥AC,所以AE是圆的切线。

由以上的分析可知,数学上的一切猜想,均是“心想事成”的前提。另外,数学中的转化思想也有同样情况。请看下例。

例3  如图,已知圆O和直线l上一点A,求作圆P,使圆P与圆O外切,且与直线l相切于A。

分析:P点一定在过A点垂直于l的直线上。如果连结OP交圆O于B,则有PB=PA,故P在AB的中垂线上。

因为P点不确定,故B点也不确定,就很难用中垂线来产生P点。

能否将问题转化为P到两个定点的距离相等呢?如果能,两个定点在何处?

这似乎有点“异想天开”,但问题常常就是被这样异想天开的人解决的。

我们可以这样想,可否在直线l的下方找一点C,使PC=PO?这个不难,只要取AC等于圆O的半径即可。

例4  如图梯形ABCD中,DC∥AB,AD和DB垂直且相等,AC=AB,对角线交于E,求证:BC=BE。

分析:有一种灵感叫做感觉,你是否感觉到了任何人画这个图,都会相似的。这就是说此图的任何角的度数是固定的。

现在要证的是BC=BE,当然想到证∠ECB=∠CEB,会不会这两个角度都可以求出来?其实只要求其中一个就可以了,或者求∠CAB也行。

又异想天开了,这可能吗?

如果添上梯形最常用的辅助线—-两条高,我想一定能心想事成了。

四、学会利用

例5  如图,△ABC中OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。(1)设∠BAC=x度,∠BOC=y度, 求y关于x的函数解析式;(2) 请你猜想∠BOC一定是什么角?并证明你的猜想。

 

分析:解答第(1)题后,有些人就另起炉灶解第(2)题,这就是不会利用的表现。事实上,当我们求出y=90+\frac{1}{2}x后,利用这个解析式的特点,可以说明90<y<180,所以∠BOC一定是钝角。

五、选择方法

例6  如图,抛物线交x轴于A(3,0),B(-1,0),交y轴于C(0,2),在第一象限内的抛物线上是否存在一点D,使△ACD的面积最大?如果有,请求出D的坐标;如果没有,请说明理由。

分析:解题和做事一样,做之前先想好几种方法,再仔细推敲哪一种方法更好。本题有三种方法选择:

1、如图,作平行于AC的抛物线切线,设为y=kx+b,其中k由AC确定,再由△=0解出b,进而可以算出D点的坐标。这种方法计算量很大。

2、如图,将△ACD的面积看做是矩形减去绿色三角形面积,写出面积关于D点横坐标的函数解析式。但是这种方法是有问题的,当D点低于C点时,图形就不是这样了。

3、如图,过D点作x轴的垂线交AC于E,交x轴于F,那么S=\frac{1}{2}DE\times{AO}.

2011年宁波市数学中考压轴题就有类似的问题,如果平时注重方法的选择,考试时就不会手忙脚乱了。

六、按部就班

例7  如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=8,P在AD上,Q在BC上,DP=BQ=t,PE⊥AD交BD于E,当△BEQ为等腰三角形时,求t的值。

做这样的题,要教育学生“按部就班”地进行。先要画出等腰三角形的三种不同的情形,再对每一种情形分析如何列出有关线段的代数式,然后列出关于t的方程,解完方程要检验所得的根是否符合这个情形。这是常规的过程,按部就班,老老实实是每个人正确的处世观。

如图1,当QE=QB时,EQ=t,FQ=8-2t,EF=2-PE=2-\frac{1}{2}t,然后利用勾股定理列出方程。

如图2,当BQ=BE时,DP=t,PE=\frac{1}{2}t,DE=4\sqrt{5}-t,然后利用勾股定理列出方程。

如图3,当EQ=EB时,BQ=t,FB=PA=8-t,由BF=\frac{1}{2}BQ可以列出方程。

七、热爱生活

生活中有数学,数学可以解决生活问题。如果学生能够在学习数学中热爱生活,这必将是数学教育的最高宗旨之一,是造福人类的千秋伟业,是功德无量的造化。

例8  下面的生活问题都可以编出有趣的数学题,题目略。

八、打破常规

解数学题可以看出一个人是否有创新的思维、创新的举动。习惯的做法未必是好方法,常规的、传统的做法未必是是好方法。

例9  如图,某公园要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内,柱高为0.8米,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下(如图),水流最高点距离水面1.8米,距离柱子水平距离1米。如果不计其它因素,那么为了喷出的水都落在池内,水池的直径至少为  (    )

A、(2+\frac{6}{5}\sqrt{5})米        B、(3+\frac{2}{5}\sqrt{5})米     C、4米      D、3.8米

常规的做法是,先建立以O为原点的坐标系,求出第一象限内的解析式,再求出B的坐标。这样做计算量较大,毕竟是一道选择题,我们可以创新一下,不需要建立坐标系,也不求解析式,但可以看出答案是哪个。

事实上D点横坐标是1,利用抛物线的对称性,所以OB>2,BC>4,在4个选项中大于4的只有A。

例10  有一些按规律排列的等式:
第1个:1^2+3^2=10
第2个:3^2+5^2=34
第3个:5^2+7^2=74
第4个:7^2+9^2=130
第n个等式是▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。

分析:常规的思路是,发现左右两边的规律,按规律写出第n个等式。但右边的规律不好找,咋办?来点创新嘛!找一种别的方法,一种自己从未使用过的方法,什么方法呢?

先写出左边是(2n-1)^2+(2n+1)^2,右边既然规律不好找就别找了,将左边算一算即可,左边=8n^2+2

故第n个等式是(2n-1)^2+(2n+1)^2=8n^2+2

九、学会模仿

模仿能力是学习的重要能力,任何学习都是从模仿到自创的。模仿还有第二层意思,即类比。类比即类似的比较,与老问题、旧知识比较,从而解决新问题、新知识。下面举例说明类比思想是如何运用的。

例11  如图,D是等腰三角形ABC的底边BC所在直线上一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,CH是△ABC的高。

(1)当D在线段BC上时,求证:DE+DF=CH.

(2)当D在线段BC延长线上时,(1)中的结论是否依然成立?如果成立给出证明;如果不成立,写出新的关系,并给出证明。

(1)连结AD,

S_{\triangle{ABD}}+S_{\triangle{ADC}}=S_{\triangle{ABC}}

∴AB×DE÷2 + AC×DF÷2 = AB×CH÷2,∵AB=AC,∴DE + DF = CH.

(2)分析:一个点从线段上变为延长线上,其结论应该是类似的,证明过程是可以模仿的。

事实上只要将上述过程中的“+”改为“-”,就是本问题的过程了。

十、细心细致

例12  如图,正三角形ABC和正方形DEFG的边长均为12,DE在直线AB上,△ABC固定不动,正方形DEFG向右移动。从A,E重合到B,D重合为止,每秒运动1,运动时间为t,重叠部分面积为s,求s与t的函数解析式。

细心的人是怎样解题的呢?他会将整个运动过程全部画出来,包括特殊的和一般的情形。图形如下:

能这样细心细致地考虑问题的人,今后还不是成大器的人吗?

十一、知难而退

在解数学题时常常一条自己认为可行的思路,其实是一条死路或艰难之路,懂得知难而退的人或许能更快成功。

例13  如图,△ABC中,∠BAC=60°,AD是高,BD=1,CD=2,求△ABC的面积。

思路1:

设AD=x,得到tan\angle{BAD}=\frac{1}{x}tan\angle{CAD}=\frac{2}{x}

tan^{-1}(\frac{1}{x})+tan^{-1}(\frac{2}{x})=60,想解出x,这在初中阶段是死路一条。

思路2:

作高CE、BF,由∠BAC=60°,得

\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{EO}{BO}=\frac{FO}{CO}=\frac{1}{2}

然后设EO=a,FO=b,利用以上关系及众多的相似三角形列出方程,求出面积。

这个方法计算量很大,一般的人吃不消,知难而退吧。

思路3:

作高CE,设AD=x,得到AB=\sqrt{x^2+1}AC=\sqrt{x^2+4}

由面积法知\frac{1}{2}BC\times{AD}=\frac{1}{2}AB\times{CE},又CE=\frac{\sqrt{3}}{2}AC

\frac{1}{2}\times{3}\times{x}=\frac{1}{2}\times{\sqrt{x^2+1}}\times{\frac{\sqrt{3}}{2}\times{\sqrt{x^2+4}}}

这个方程虽然是4次的,但没有奇次项,可以解出x^2=\frac{7+\sqrt{33}}{2},(为什么舍去x^2=\frac{7-\sqrt{33}}{2}?请读者思考。)

进而解出x=\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{2}

S_{\triangle{ABC}}=\frac{3}{4}(\sqrt{11}+\sqrt{3}).

十二、预见未来

现在的学生做事也好,解题也好都缺少这种能力,“写着再说”、“不知道做这一步为了什么”是目前学生的普遍现象。说不定从解数学题可以锻炼这种能力。

例14  已知实数a,b,c满足abc=1,求\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}的值。

分析:如果先通分,预见一下,是相当麻烦的事。

如果运用条件abc=1,则可将第一的分式化为\frac{1}{\frac{1}{c}+b+1},预见一下,下一步该做什么?分子分母同乘以c,这样可以与第二个分式同分母。再预见一下,第三个分母咋办?也可以化为同分母?对!只要先化为第一个的分母,再化为第二个的分母。

答案是1,解答略。

本题还可以将计算的代数式改为:求\frac{b}{ab+b+1}+\frac{c}{bc+c+1}+\frac{a}{ca+a+1}的值。其结果与原来一致。

十三、避难就易

我的经验告诉我,难的事情最后做,也许会收到意想不到的效果。

例15
如图,把正方形分成四块全等的直角三角形,再拼成四边形(非正方形),下列语句正确的是(  )
A、能拼出6种不同的平行四边形 B、菱形是拼不成的 C、可以拼出2种不同的矩形 D、只能拼出1种等腰梯形
如果先考虑A,就要拼出6种不同的平行四边形,这太多了,不容易。还是先考虑B,C,D吧,因为个数不多,容易啊,结果发现菱形有1个,矩形只有1个,等腰梯形有2个,所以A正确。

A难,B.C.D容易,这就是避难就易。

例16 求y=\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\div\frac{x^2-x}{x+1}-\frac{1}{x}+1的值时,下列语句正确的是( )
A、x=100和x=99的值是一样的 B、x=0和x=2的值是一样的
C、x=1和x=2的值是一样的 D、x= -1和x=2的值是一样的

分析:100和99太大了,先考虑简单的吧,因为x=0,2,1,-1时原式无意义,所以只能选择A了。

十四、旁门左道

例16  已知a是非零实数,则下列不等式一定成立的有(     )

分析:第4个不等式的判断有点困难,一般的初中生证不了,既然常规的方法难住自己了,那就来点旁门左道。

取a=1,-1,2,-2代入不等式成立,所以这个不等式应该是对的,还有对的是第1个和最后1个,故选C。

本题采用的方法成“特殊值法”

结束语

我的课堂教学中,经常会遇到解题与做人不矛盾的例子,我会即时教育学生,虽然我知道我的很多学生未必能懂得其中的道理。由于没有及时记下,当时一些非常实际、非常贴切的例子遗忘了,以后继续收集中……

《学好数学,学会做人》有4个想法

  1. 黄老师,数学在您这就变得特和谐,变得特别有魅力了,而在我那就是枯燥无味的了~~~学习学习!!致敬!

  2. 黄老师:
    多积累资料,为年轻教师造福。文中例13我有一个几何解法,作三角形ABC的外接圆再进行计算。

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