老封研究过的几何题

叶中豪提出了如下几何问题:

如图,H是△ABC的垂心,直线a是任意的一条直线,直线a_1a_2a_3是直线a关于BC、AC、AB轴对称直线。三条对称直线围成△DEF。

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(1)何时D、E、F共点?实验发现直线a过H时共点。

(2)△DEF的面积由H到a的距离决定。

(3)△DEF的内心P在△ABC的外接圆上。

(4)当直线a位置变化时,△DEF的形状不变。

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西姆松定理及其退化形式

一、西姆松定理及其证明

1、定理

如图1.1,P是△ABC外接圆上一点,自P向三边所在的直线作垂线,垂足是D,E,F,那么D,E,F三点共线.

2、证明

连PA、PB,∵P、E、B、D及P、D、F、A四点共圆,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠AFP=∠BEP,∠FAP=∠EBP,∴∠2=∠4,
∴∠1=∠3,∴D、E、F三点共线.

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一道几何题的多种证明方法

问题:如图1,△ABC中,AB=AC,D,E分别在AB,AC上,且AD=DE=EC=BC,求证:∠A=20°.

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解法1:如图2

作∠ACB的角平分线CF,连EF,那么△BCF≌△ECF,设∠A=x°,于是∠B=∠FEC=90-\frac{1}{2}x

∠DEF=180-x-(90-\frac{1}{2}x)=90-\frac{1}{2}x=∠FEC.

∴△DEF≌△CEF,∴∠BFC=∠EFC=∠EFD=60°,

在△BFC中,∵一个角为60°,另两个角是2倍关系,∴∠B=80°,∴∠A=20°.

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数学群问题讨论汇总4

《出众树雪》高手如林,展示的问题难度较高,解法让人叫绝,故拾圣人之遗,以飨读者。前面已经有3篇总汇:

数学群问题讨论汇总1

 数学群问题讨论汇总2

 数学群问题讨论汇总3

问题30

已知:如图P是△ABD内一点且∠ABP=∠ADP,PE⊥AB于E, PG⊥AD于G,F是BD中点,求证:EF=FG。(流星提供)

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数学群问题讨论汇总1

《出众树雪》是一个小小的初中数学群,群号:88730268,2009年创办这个群,旨在群员之间互相研究、讨论、学习。2年多来群内学术气氛浓厚,解题高手辈出,群员数学资料共享。较为突出的是黑马和成都罗老师,他们坚守群的岗位,有问必答,有难必解,受到广大群员的尊敬和崇拜。在群员的建议下,我将群内讨论的数学问题和解题方法收集如下,以飨读者。

问题1

如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,E是OD中点,射线AE交圆于F,CF与DB交于G,求证:DG=GB。

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