征求解答:一道几何作图题

在几何画板中想作如下的图形,结果发生了困难,请教高手解答。

给定矩形ABCD,先作一个最大的圆P,要在余下的矩形区域内再作一个最大的圆Q。

可是圆Q的圆心如何确定呢?我百思不得其解。也就是在已经画出矩形ABCD和圆P后怎样用尺规作出圆Q,请大家支招!

我分析来分析去,最终将问题转化为如下的作图题。

已知∠ABC=45°,定点P在角内部,请在射线BC上找一点Q,使得Q到AB的距离等于PQ。

以上问题等待你的解答,求助了。

关于sinα+cosα最大值的解答征集

为了提高本博客的互动性,我在上篇文章《征求解答》中提出了一个初中数学问题:

如果\alpha为锐角,那么sin{\alpha}+cos{\alpha}的最大值为\sqrt{2}

请你将证明过程在下面评论里给出,证明的依据不能超过初中知识。

本问题的结论是我很早时候自己发现的,我想一定会引起更多老师的兴趣。结果征集到五位老师的四种解答(有些解答在QQ中交流),公布如下。

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征求解答

命题:如果\alpha为锐角,那么sin{\alpha}+cos{\alpha}的最大值为\sqrt{2}

请你将证明过程在下面评论里给出,证明的依据不能超过初中知识,证明正确者,将获得2010年中考数学分类试卷一套的奖励。你也可以在其它网页里发表解答过程,将地址列出。请注明接收奖励文件的地址。

经典数学难题集锦

在这里,我会陆续展示一些平时收集的难题,供大家参考。我的解答可能不是最好的,请你指点。这些题目也不一定是难题,也不一定很经典,只能说这些题是我较喜欢的,喜欢的原因是我很佩服命题者。说不定今天你看到的这篇文章,已经比上次新增了几题。

例1

如图所示,一长方形被分割成9个互不交叠的正方形,如果该长方形的长与宽为互质的非零自然数,那么此长方形的周长为                     

解:如图,设正方形6的边长为x,正方形7的边长为y,那么
正方形3的边长为x+y,
正方形2的边长为x+x+y=2x+y,
正方形9的边长为x-y,
正方形8的边长为y-(x-y)=2y-x,
正方形4的边长为(x+y)+y+(2y-x)=4y,
正方形1的边长为(2x+y)+x+(x-y)=4x,
正方形5的边长为(2y-x)+4y=6y-x或(2x+y)+4x-4y=6x-3y,
∴6y-x=6x-3y,y=\frac{7}{9}x,
∴长方形的两边长分别是(2x+y)+4x=6x+y=\frac{61}{9}x,4x+6y-x=3x+6y=\frac{23}{3}x,
为了使\frac{61}{9}x和\frac{23}{3}x互质,只能取x=9,这时边长为61和69,周长为260。

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“重叠原理”在解题中的应用

重叠方法就是利用重叠原理的一种方法,在几何中两个(或多个)图形有重叠部分,重叠部分的面积就等于这两个(或多个)图形的面积减去总面积。重叠原理不仅可以求重叠部分的面积,还可以解决有重叠现象的线段、角及应用题等问题。

如下图,图1中重叠部分(阴影)的面积等于两圆面积和减去图形的总面积;图2中重叠部分的角∠BOC=∠AOC+∠DOB-∠AOD;图3中重叠部分的线段CD=AD+BC-AB。举例说明如下。

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“考虑问题反面”是解决问题的重要方法

有时候解决问题的反面远比解决问题的正面来得简单。这是一种思想还是一种方法?我也说不清,反正很有效。生活中也有这样的做法,我常常猜想,是不是许多数学方法来自于生活?是不是许多数学思想源自于生活?这是一节我非常得意的数学专题课,我讲的专题是《从反面考虑问题》,这是一个成功的案例。

那天,狂风大作。我走进教室,习惯地带上门,可总是关不住,扫帚顶、凳子靠都不管用,学生似乎在笑。

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极端原理在解题中的应用

在代数和几何里常有求一个变量的取值范围,通常都用不等式解之。我发现好多时候可以用极端原理来解,所谓极端原理就是取一个变量变化范围的两个极端,一个是极大端,一个是极小端,从而解决问题的方法。下面举例说明。

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牢牢把住初中数学的核心───字母表示数

初中数学的核心有两个,一是运算,二是推理。运算的核心是字母表示数,而许多推理又离不开计算。

许多同学遇到稍难的题目,就想不到方法,其实首先想不到的是字母表示数。用字母解决数学问题有以下四个过程,有一个过程出问题就无法成功。

  1. 要想到设字母
  2. 要选择合适的未知数
  3. 列出有关的代数式
  4. 找出代数式之间的关系

下面举例说明。

例1  有一列按规律排列的数1,2,3,5,8,13,21,34,……。有一位同学说:这列数中任意相邻的6个数相加,我有简便运算的方法。请问简便运算的方法是怎样的?是如何发现的?

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怎样用实验解决初中数学问题

“实验”不是物理、化学的专利。用实验解决数学问题,是近几年来新理念下的热门题型。这样的问题往往不需要复杂的计算和推理,只需动手操作,实验观察即可。这是对学生动手能力、想像能力和观察能力的挑战。《数学课程标准》从“基本理念”到“总体目标”再到“课程实施建议”都提出了数学实验的要求,那么教师怎样在课堂教学中落实这个要求呢?我在这方面进行了较多的尝试,下面谈谈如何用实验解决某些初中数学问题。

数学实验方法1——正确作图,仔细度量

某些几何计算题(选择题或填空题,下同),直接解有一定困难,如果按题意准确作图(甚至要用圆规),再用刻度尺或量角器或圆规进行度量比较,得到结果。

例1、如图,△ABC中,AB=AC,D在BC上,E在AC上,AD=AE,设∠EDC=α,∠BAD=β,那么αβ关系正确的是    (      )

A、β=α       B、β=2α      C、β=2.5α       D、β=3α

实验:画图时应讲究技巧,先画∠BAD=60°,再任画射线BD,然后用圆规截取AC=AB,AE=AD,那么便可量出∠EDC=30°,故选B。

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切线判定的三种类型

切线的判定教材里只有一个例题,证明方法是先连一条半径,再证明这条半径和要判定的直线垂直。这种方法简单的说就是“先有r再证d”。而事实上切线的判定共有三种类型。

一、先有r再证d

例1  如图,正方形ABCD中,E在BC的延长线上,AE交BD、CD于F、G,求证:FC是\triangle{GCE}的切线。

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