分类： 解题技巧

叶中豪提出了如下几何问题：

如图，H是△ABC的垂心，直线a是任意的一条直线，直线a_1、a_2、a_3是直线a关于BC、AC、AB轴对称直线。三条对称直线围成△DEF。

（1）何时D、E、F共点？实验发现直线a过H时共点。

（2）△DEF的面积由H到a的距离决定。

（3）△DEF的内心P在△ABC的外接圆上。

（4）当直线a位置变化时，△DEF的形状不变。

继续阅读“老封研究过的几何题”

一、原命题

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为角平分线，求证：BC=BD+AD.

解：将点A 沿BD反射至BC上的E点，在BC作BF=BD，那么易证DE=DF=CF，

所以BC=BD+AD.

继续阅读“几个互逆命题的证明”

问题：如图1，△ABC中，AB=AC，D,E分别在AB,AC上，且AD=DE=EC=BC，求证：∠A=20°.

解法1：如图2

作∠ACB的角平分线CF，连EF，那么△BCF≌△ECF，设∠A=x°，于是∠B=∠FEC=90-\frac{1}{2}x，

∠DEF=180-x-(90-\frac{1}{2}x)=90-\frac{1}{2}x=∠FEC.

∴△DEF≌△CEF，∴∠BFC=∠EFC=∠EFD=60°，

在△BFC中，∵一个角为60°，另两个角是2倍关系，∴∠B=80°，∴∠A=20°.

继续阅读“一道几何题的多种证明方法”

四、四边形中的基本模式

1、正方形

（1）正方形中的垂直线段

如图，在正方形ABCD中，EF⊥GH，那么EF=GH，反之亦然

例16  如图所示，现有一张边长为7的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点，AP=3，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，求FG的长。

解：连BP，作FM⊥AB于M，由上模式，因为BP⊥EF，所以△ABP≌△MFE，所以ME=AP=3，

设GF=CF=MB=x，那么EP=EB=3+x，AE=4-x，由△AEP中的勾股定理得，(3+x)^2=(4-x)^2+3^2，

解得x=\frac{8}{7}。

注：连结PF利用两个直角三角形的公共斜边，解法更为简单。

继续阅读“几何中的基本模式（续）”

想加快解几何题的速度，就要牢记常见的几何命题的图形、条件和结论。我把它叫做“几何基本模式”。

“基本模式”虽然不是定理，虽然不能在证明过程中直接应用，但其作用不亚于定理，至少我们可以在填空题、选择题中加以应用，还可以运用它进行问题的分析，作为推理的依据，看清解题思路，加快思维速度。几何基本模式就是我们解题的经验，模式记得越多经验就越多。下面举例一一加以说明。

继续阅读“几何中的基本模式（待续）”

有许多数学问题，用函数图象解决优于其它方法， 而这恰恰是许多人想不到的。究其原因是缺乏函数思想和数形结合思想。

我相信，当你看完以下题目的解答后，一定会收到启发，利用函数图象解决问题的方法便会成为你有力的工具。

一、函数图象解决方程问题

例1  已知关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m（m>0）的两个解分别是a和b，那么关于x的一元二次方程(x-a)(x-b)+m=0的两个解是什么？

解：构造三个函数如下：

y_1=(x-1)(x-2)，y_2=(x-a)(x-b)，y_3=(x-a)(x-b)+m，前两个函数图象如下：

 

由图可知，函数y_2=(x-a)(x-b)的图象可以看作是函数y_1=(x-1)(x-2)图象向下平移m个单位得到的。

再将函数y_2=(x-a)(x-b)的图象向上平移m个单位就得到y_3=(x-a)(x-b)+m，也就是y_1=(x-1)(x-2)，

所以一元二次方程(x-a)(x-b)+m=0的解就是(x-1)(x-2)=0 的解，即解为x_1=1,x_2=2.

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