三角形中的角格点问题

如果三角形的三个角的度数都是10的整数倍,三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后,得到的所有的角也都是10的倍数,我们称这样的点为三角形中的格点.求解三角形中的格点问题,常可利用对称点.利用对称点求解三角形中的格点问题,方法简单易行,解法简洁巧妙,题面新颖有趣,是学生巩固知识,培养能力,陶冶情操,提高素质的宝贵资料.

证明角格点的方法是作轴对称图形,即构造轴对称的全等三角形。

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老封研究过的几何题

叶中豪提出了如下几何问题:

如图,H是△ABC的垂心,直线a是任意的一条直线,直线[latex]a_1[/latex]、[latex]a_2[/latex]、[latex]a_3[/latex]是直线a关于BC、AC、AB轴对称直线。三条对称直线围成△DEF。

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(1)何时D、E、F共点?实验发现直线a过H时共点。

(2)△DEF的面积由H到a的距离决定。

(3)△DEF的内心P在△ABC的外接圆上。

(4)当直线a位置变化时,△DEF的形状不变。

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一道几何题的多种证明方法

问题:如图1,△ABC中,AB=AC,D,E分别在AB,AC上,且AD=DE=EC=BC,求证:∠A=20°.

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解法1:如图2

作∠ACB的角平分线CF,连EF,那么△BCF≌△ECF,设∠A=x°,于是∠B=∠FEC=[latex]90-\frac{1}{2}x[/latex],

∠DEF=[latex]180-x-(90-\frac{1}{2}x)=90-\frac{1}{2}x[/latex]=∠FEC.

∴△DEF≌△CEF,∴∠BFC=∠EFC=∠EFD=60°,

在△BFC中,∵一个角为60°,另两个角是2倍关系,∴∠B=80°,∴∠A=20°.

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几何中的基本模式(续)

四、四边形中的基本模式

1、正方形

(1)正方形中的垂直线段

如图,在正方形ABCD中,EF⊥GH,那么EF=GH,反之亦然

例16  如图所示,现有一张边长为7的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点,AP=3,将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,求FG的长。

解:连BP,作FM⊥AB于M,由上模式,因为BP⊥EF,所以△ABP≌△MFE,所以ME=AP=3,

设GF=CF=MB=x,那么EP=EB=3+x,AE=4-x,由△AEP中的勾股定理得,[latex](3+x)^2=(4-x)^2+3^2[/latex],

解得[latex]x=\frac{8}{7}[/latex]。

注:连结PF利用两个直角三角形的公共斜边,解法更为简单。

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几何中的基本模式(待续)

想加快解几何题的速度,就要牢记常见的几何命题的图形、条件和结论。我把它叫做“几何基本模式”。

“基本模式”虽然不是定理,虽然不能在证明过程中直接应用,但其作用不亚于定理,至少我们可以在填空题、选择题中加以应用,还可以运用它进行问题的分析,作为推理的依据,看清解题思路,加快思维速度。几何基本模式就是我们解题的经验,模式记得越多经验就越多。下面举例一一加以说明。

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利用函数图象解决数学问题

有许多数学问题,用函数图象解决优于其它方法, 而这恰恰是许多人想不到的。究其原因是缺乏函数思想和数形结合思想。

我相信,当你看完以下题目的解答后,一定会收到启发,利用函数图象解决问题的方法便会成为你有力的工具。

一、函数图象解决方程问题

例1  已知关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两个解分别是a和b,那么关于x的一元二次方程(x-a)(x-b)+m=0的两个解是什么?

解:构造三个函数如下:

[latex]y_1=(x-1)(x-2)[/latex],[latex]y_2=(x-a)(x-b)[/latex],[latex]y_3=(x-a)(x-b)+m[/latex],前两个函数图象如下:

hstx-2-1

 

由图可知,函数[latex]y_2=(x-a)(x-b)[/latex]的图象可以看作是函数[latex]y_1=(x-1)(x-2)[/latex]图象向下平移m个单位得到的。

再将函数[latex]y_2=(x-a)(x-b)[/latex]的图象向上平移m个单位就得到[latex]y_3=(x-a)(x-b)+m[/latex],也就是[latex]y_1=(x-1)(x-2)[/latex],

所以一元二次方程(x-a)(x-b)+m=0的解就是[latex](x-1)(x-2)=0[/latex] 的解,即解为[latex]x_1=1,x_2=2[/latex].

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