自编抛物线难题解答

关于x的二次函数[latex]y=ax^2+bx+c[/latex]图象如图所示。

(1)判断[latex]c-4b[/latex]的符号;(2)判断[latex]a-2b+4c[/latex]的符号;(3)如果OA=OB,求证:[latex]0<a<1[/latex].

解(1)

由[latex]\frac{b}{-2a}>1[/latex],得[latex]b<-2a[/latex],即[latex]-2b>4a[/latex],

∴[latex]c-4b=-2b-2b+c>4a-2b+c=f(-2)>0[/latex].

(2)

[latex]a-2b+4c=4(\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c)=4f(-\frac{1}{2})<0[/latex].

(3)

∵OA=OB,B点坐标为(0,c),∴A点坐标为(c,0),

∴[latex]ac^2+bc+c=0[/latex],[latex]ac+b+1=0[/latex],

∵[latex]f(1)<0[/latex],即[latex]a+b+c<0[/latex],∴[latex]b<-a-c[/latex],

∴[latex]ac-a-c+1>0[/latex],即[latex](a-1)(c-1)>0[/latex],

∵[latex]c-1<0[/latex],∴[latex]a-1<0[/latex],即[latex]0<a<1[/latex].

自编一道抛物线难题,请你来挑战。

今天上课的内容是复习二次函数,我随手编了一道题,学生只会做第(1)题,现拿出来与大家共享,并考考你。如果你在下面评论里写出了正确的解答,将会获得一套初三培优试卷作为你的奖励。

关于x的二次函数[latex]y=ax^2+bx+c[/latex]图象如图所示。

(1)判断c-4b的符号;(2)判断a-2b+4c的符号;(3)如果OA=OB,求证:0<a<1.

打破定势求创新

在上一篇文章《请你来画图!》中,提出了几个有关平行线的画图问题,其中最后一个图使许多人发生了困惑,究其原因,是思维定势在作祟。当AB∥CD时,C、D的顺序可以交换。其实在很多时候我们的思维都会有定势,如画一个三角形就想不到是钝角三角形;画一条高,就一定在形内;想到同侧就想不到异侧;想到点在线段上就想不到点在线段外……

现在就《请你来画图!》中的问题,我给出所有情形的解法。

继续阅读“打破定势求创新”

请你来画图!

已知两条线段AB∥CD,点E不在AB、CD所在的直线上。∠ABE=α,∠CDE=β,∠BED=γ。请你就E点的不同位置尽可能多的画出各种图形,写出该图形中α、β、γ的关系,现在解法1已经给出,其余解法只给出α、β、γ的关系,请你在方框内画出每种解法相应的图形。

解法1:如果所画的图形是如图所示的图形的话,那么有γ=α+β

解法2:如果所画的图形是如图所示的图形的话,那么有α+β+γ=360°

解法3:如果所画的图形是如图所示的图形的话,那么有β=α+γ(要画出2种不同的图形)

解法4:如果所画的图形是如图所示的图形的话,那么有α+β+γ=180°(α、β、γ都≠90°)

挑战你的想象能力和创新能力,期待你的参与。由于评论中不能附图,所以建议你做个图片的超链接。

“请你来竞答”的答案

一道考学生的几何变换───平移的题,受到大家的热情参与,首先谢谢参与者。

开始自己编的题,自己也解错了,我原先的答案是5次粘贴(见左图)。后来,一位小学五年级的学生(秦维杰)告诉我,只需4次粘贴就可以了(见右图)。

好一个5年级的小学生,对图形的感觉真好!

请你来竞答

在操作画图板时,我发现要画出如下的图形方法很多,但最快的方法是先画一个最小的三角形作为基本图形,然后通过变换的方法进行复制、粘贴,拼合而成。

请你回答:至少粘贴几次,才能拼成这样的图形?(不考虑复制、变换的次数)

你的答案直接在评论里给出。我会公布我的答案。

关于画图板的介绍,请参见《数学画图的好帮手──画图板》一文。

几何作图题的征解结果

没想到才过4天,一道几何作图题征集到多人的解答,并在QQ群(出众树雪88730268)上引起大讨论,看来数学研究就得这样,有问题大家研究,有结果大家分享。

一、问题提出

问题1

一位老师问我:在一个长8厘米、宽6厘米的长方形内画两个圆,这两个圆的面积之和最大是多少?

因为百思不得其解,于是想用几何画板绘制图形,以探索最大值的位置。但作图遇到了困难,也就是

继续阅读“几何作图题的征解结果”

征求解答:一道几何作图题

在几何画板中想作如下的图形,结果发生了困难,请教高手解答。

给定矩形ABCD,先作一个最大的圆P,要在余下的矩形区域内再作一个最大的圆Q。

可是圆Q的圆心如何确定呢?我百思不得其解。也就是在已经画出矩形ABCD和圆P后怎样用尺规作出圆Q,请大家支招!

我分析来分析去,最终将问题转化为如下的作图题。

已知∠ABC=45°,定点P在角内部,请在射线BC上找一点Q,使得Q到AB的距离等于PQ。

以上问题等待你的解答,求助了。

关于sinα+cosα最大值的解答征集

为了提高本博客的互动性,我在上篇文章《征求解答》中提出了一个初中数学问题:

如果[latex]\alpha[/latex]为锐角,那么[latex]sin{\alpha}+cos{\alpha}[/latex]的最大值为[latex]\sqrt{2}[/latex]。

请你将证明过程在下面评论里给出,证明的依据不能超过初中知识。

本问题的结论是我很早时候自己发现的,我想一定会引起更多老师的兴趣。结果征集到五位老师的四种解答(有些解答在QQ中交流),公布如下。

继续阅读“关于sinα+cosα最大值的解答征集”