极端原理在解题中的应用

在代数和几何里常有求一个变量的取值范围,通常都用不等式解之。我发现好多时候可以用极端原理来解,所谓极端原理就是取一个变量变化范围的两个极端,一个是极大端,一个是极小端,从而解决问题的方法。下面举例说明。

例1  一次函数y=2x-3,已知x的取值范围是-2<x<2,求y的取值范围。

分析:x的取值有两个极端,大的极端是2,小的极端是-2,将它们分别代入解析式得到y的两个极端1和-7,所以-7<y<1。

而一般的解法是先变形成x=\frac{y+3}{2},再列不等式-2<\frac{y+3}{2}<2,这样计算量就大了。

例2  已知抛物线y=ax^2-2ax-1+a(a>0)与直线x=2,直线x=3,直线y=1,直线y=2围成的正方形有公共点,则a的取值范围是______.(注:直线y=1即为过(0,1)点平行于x轴的直线).

分析:画出草图如图。当a>0时,抛物线过C点是最低位置(其中的一个极端),此时C(3,1)代入得,9a-6a-1+a=1,a=\frac{1}{2}.  抛物线过A点是最高位置(其中的另一个极端),此时A(2,2)代入得,4a-4a-1+a=2,a=3.  抛物线位置上的两个极端必定是a的值的两个极端,故a的取值范围是\frac{1}{2}\le{a}\le{3}.   当a<0时,无解.

另外,我们可以从解析式看出,不论a取什么非零实数,抛物线的对称轴总是直线x=1,总是过(1,-1)点,这点是抛物线的顶点。所以当a变化时,抛物线不会左右平移,也不会上下平移,而是在顶点不变的情况下,改变开口的大小和方向。可见这个图形画得不对,但a的变化会使抛物线过两个极端是对的。

例3  ⊙A和⊙B相交,⊙A的半径为5,AB=8,那么⊙B的半径r的取值范围是          

分析:一般的解法是,解不等式│5-r│<8<5+r,这个很麻烦,况且还带着绝对值。我的方法是,先考虑r的极小端,此时两圆外切(如图1),r=3;再考虑r的极大端,此时两圆内切(如图2),r=13. 故3<r<13。

例4  如图等腰梯形ABCD的周长为24cm,∠B=∠C=60°,设AB=xcm,等腰梯形ABCD的面积为ycm。求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围。

分析:我们就求x的取值范围加以分析。常规方法就不说了,我的方法是用“极端原理”。AB的极小情况是图3,这时x可以很接近于0,AB的极大情况是图4,这时梯形接近于等边三角形了,x接近周长的\frac{1}{3}了,即x接近于8.

所以x的取值范围是0<x<8.

我们还可以从这两个图中知道BC的取值范围是8<BC<12.

例5  如图四边形ABCD中,AB=4,BC=7,CD=2,AD=x,求x的取值范围。

分析:极端原理就是考虑x最大大到什么程度,最小小到什么程度,图5和图6就是这两个极端,极大端是x=13(当然我们这里说的极大端是指x可以无限接近13),极小端是x=1(当然我们这里说的极小端是指x可以无限接近1)。于是,x的取值范围是1<x<13.

许多人解这道题时都连对角线,转化为三角形的三边关系,列出不等式组,结果很少有人成功。所以可以这样说,几何中的取值范围的问题绝大多数都可以用极端原理来解,千万不要先考虑不等式。

例6  如图Rt⊿ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在AB上,DE⊥AC交AC于E,DF⊥AB交BC于F,设AD=x,四边形CEDF的面积为y。求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围。

分析:我们就求x的取值范围加以分析。用极端原理先画出两个极端情况的图形,图7是x的极大端,此时x无限接近10,图8是极小端,此时x无限接近3.6,所以3.6<x<10.

看了以上解法,你基本了解了极端原理是如何在求变量的取值范围中运用的,无非就是抓住两个极端,画出两个极端情况的图形,求出两个极端时候变量的值。怎么样?是不是比列不等式容易多了?

如果你认为极端原理只能用在求变量的取值范围的话,那你就错了。下面这道题就是例证。

例7  如图,△ABC中,BC=8,高AD=6,矩形EFGH的顶点在三角形的边上,则矩形EFGH的面积最大值是                    

分析:考虑E点的两个极端位置,一个是靠近B点直至与B重合,此时矩形面积为0(如图9),另一个是靠近A点直至与A重合,此时矩形面积也为0(如图10)。可以预见到,这是一个二次函数的问题,两个极端正是二次函数图象的两个对称点。所以最大值就出现在这两个对称点的中间,也就是E在AB中点时达到最大值(如图11)。

最大面积=8÷2×6÷2=12.

我常对学生说:“几何里的取值范围问题,我们一般用极端原理来解”,我不敢将“一般”换成“一定”。今天终于找到了一题,发现很难用运极端原理,倒比较适合用运不等式。特追加下例:

例8  如图△ABC中,AB=AC,D在AC上,BD=AB,求∠A的取值范围。

解:设∠A=α,那么∠ADB=α,∠C=\frac{180-\alpha}{2},因为∠ADB>∠C,∠A+∠ADB<180,所以

\left\{\begin{matrix} \alpha>\frac{180-\alpha}{2}\\2\alpha<180 \end{matrix}\right.

得出60<\alpha<90

这个结论是极端原理较难考虑的,因为极端位置不好寻找。

《极端原理在解题中的应用》有11个想法

  1. 例8可以用极端原理。大致如下:⊿ABD中AB=BD,故点D与点A无限接近时,∠A最大为90度;又AB=AC,点D在AC上,故AD≤AB=BD,∴∠A=∠ADB≥∠ABD,∴当点D与点C重合时,∠A=∠ABD=60度,最小。还有一个疑问:题目叙述点D在AC上是否应该包括D与点A、点C重合的情况。点D与点C重合时,∠A=∠ABD=60度,最小;但是点D与点A可以重合的话,那么∠A只是等腰⊿ABC的顶角,∠A就可以为0~180度之间了。所以我认为应该加上备注:不与A重合。

    1. 谢谢高老师,你所言甚是,我当时想得有点偏了。你不但说明了可以用极端原理,还指出了条件的不严密性。

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