初中数学《函数》复习

函数是初中数学的重要内容，它集坐标系、方程（组）、不等式、应用题、几何知识于一身，是初中数学知识的集中体现，是整个初中数学的难点，也是中考的重点.

许多学生认为函数难学，这个“难”缘自哪里？其实，函数本身并不难，往往难在没有学好其它知识，也可能是因为没有掌握解题的基本方法.

我们从五个方面来复习一下函数，你将全面了解函数的系统知识，学会基本的解题方法，体会到解决问题的基本策略.

会用函数的基本性质
会用函数图象解决问题
会看函数图象
会与其它知识联系
会用函数解决实际问题

一、会用函数的基本性质

1、一次函数的性质

例1 一次函数y=-2x+3的图象是经过______的______，它与y轴交于______，它不经过第______象限，y随x的增大而______。将它向______平移______个单位后图象过原点，这时就成为正比例函数.

答案：(0,3)和(1,1)（答案不惟一）；一条直线；(0,3)；三；减小；下、3或左、 $\frac{3}{2}$ .

2、反比例函数的性质

例2 A是双曲线 $y=-\frac{6}{x}$ 上一点，AB⊥x轴于B，O是坐标原点，那么当x>0时，y随x的增大而______， $\triangle{ABO}$ 的面积是______，此双曲线关于______对称.

分析：对于反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 我们要牢记 $S_{\triangle{AOB}}$ = $\frac{|k|}{2}$ 的结论。对称性可由图看出.

答案：增大；3；原点或二、四象限的角平分线或一、三象限的角平分线.

3、二次函数的性质

例3 已知二次函数 $y=-3x^2+12x-9$ ，回答下列问题（1）化为顶点式是______，化为交点式是______.（2）图象的顶点坐标是______，对称轴是______，当x______时y随x的增大而增大。当x=______时y有最______值是______.若将抛物线向上平移2个单位，向左平移6个单位，得到的抛物线解析式为______. （3）图象与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______.

分析：配方的过程是 $y=-3(x^2-4x)-9 =-3(x^2-4x+4)-9+12 =-3(x-2)^2+3$ .

平移的方法是“向上平移几，顶点纵坐标就加几，向左平移几括号内的数就加几”，即“上加下减、左加右减”.

答案： $y=-3(x-2)^2+3$ ；y=-3(x-3)(x-1)；(2,3)；直线x=2；<2；2；大；3； $y=-3(x+4)^2+5$ ；(0,-9)；(1,0)、(3,0).

例4 已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ ，（1）若抛物线与x轴交于(-3,0)，(1,0)，则对称轴是______.（2）当a+b+c=0时，抛物线一定过点______，当a-b+c=0时，抛物线一定过点______.（3）当 $b^2-4ac$ ______0时，抛物线与x轴有两个交点.（4）当______时，抛物线过原点；当______时，抛物线的顶点在y轴上（或者说以y轴为对称轴）；当______时，抛物线的顶点在x轴上.（5）若x取 $x_1$ 和 $x_2$ 时，y的值相等，则x取 $\frac{{x_1}+{x_2}}{2}$ 时，y的值等于______.

分析：

1、根据抛物线的对称性，当抛物线与x轴交于（ $x_1$ ，0）和（ $x_2$ ，0）两点时，对称轴是直线x= $\frac{{x_1}+{x_2}}{2}$ .

2、根据“过点代入”的原则，当抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过（1，0）时，a+b+c=0；过（-1，0）时，a-b+c=0.

3、 $\Delta$ 的符号是判断抛物线与x轴交点个数的依据.

4、 $y=ax^2+c$ 顶点在y轴上， $y=ax^2+bx$ 过原点， $y=a(x+m)^2$ 顶点在x轴上.

答案：直线x=-1；(1,0)；(-1,0)；>；c=0；b=0； $b^2-4ac=0$ ； $\frac{4ac-b^2}{4a}$ .

二次函数基本性质小结：

1、抛物线是轴对称图形，对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$ .

2、由顶点式可以解决顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性，平移等问题.

3、抛物线与x轴的两个交点( $x_1$ ,0)、( $x_2$ ,0)是关于对称轴对称的.

4、 $b^2-4ac=0$ 的值决定了抛物线与x轴的交点个数.

5、b=0时顶点在y轴上，Δ=0时顶点在x轴上，c=0时图象过原点.

6、平移时“上加下减，左加右减”.

7、已知抛物线的顶点求解析式时，可以用顶点式. 已知抛物线与x轴的两个交点求解析式时，可以用交点式.

二、会用函数图象解决问题

许多函数问题本身没有图象，如果我们画出图象，利用其图象的某些几何性质来解决，显得灵活、直观、简便。画图多多，好处多多.

例5 反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 和一次函数y=x+b的图象交于A、B两点，A点的横坐标是2，则B点的坐标是______.

分析：本题没有图，我们先画图象（下同）. 这两个图象都关于2、4象限角平分线对称，所以A、B两点也关于2、4象限角平分线对称.于是可以根据对称性直接写出B点的坐标，而不是通过解方程.

答案：（-1，2）

例6 抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-8$ 与x轴交于A、B两点，顶点为C，为使△ABC成为直角三角形，必须将抛物线向上平移几个单位（）

A、7 B、6 C、5 D、4

解：设平移后的抛物线为 $y=\frac{1}{2}x^2+c$ ，则C的坐标为(0,c).因为AC=BC， $\angle{ACB}=90^\circ$ ，所以AO=BO=CO，所以A的坐标为(-c,0）,代入得 $0.5c^2+c=0$ ，解出c=-2（舍零）,C的值由-8增加到-2，应选B.

例7 已知抛物线 $y=ax^2-2ax-1+a(a>0)$ 与直线x＝2，直线x＝3，直线y＝1，直线y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是______．（注：直线y＝1即为过（0,1）点平行于x轴的直线）．

分析：当a>0时，抛物线过C点是最低位置（其中的一个极端），此时C(3,1)代入得，9a-6a-1+a=1，a= $\frac{1}{2}$ . 抛物线过A点是最高位置（其中的另一个极端），此时A(2,2)代入得，4a-4a-1+a=2，a=3.故a的取值范围是 $\frac{1}{2}\le{a}\le{3}$ .这种方法是利用极端的位置来解决问题的，我称之为“极端原理”.

当a<0时，无解.

三、会看函数图象

对已经给出的函数图象，要求我们能看懂图中的有用信息，达到解决问题的目的。这与函数性质的掌握有直接的关系.

例8 已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象如图所示，OA>OB，有下列5个结论： ①abc>0 ；②b<a+c；③ 4a+2b+c<0 ；④ 2a+b<0 ；⑤ ac+b+1=0，其中正确的结论有（）

A.2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

分析：（1）∵a<0,b>0,c>0, ∴①×

（2）∵x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,即b>a+c,∴ ②×

（3）∵x=2时,y<0, ∴4a+2b+c<0,∴ ③ √

（4）∵对称轴在x=1的左边, ∴ $-\frac{b}{2a}<1$ , ∵a<0, ∴-b>2a 即2a+b<0, ∴ ④ √

（5）∵ OA>OB, ∴在OA上有一点C使OC=OB。 ∵B(0,c),∴D(c,y), 且y>0将其代入得 $ac^2+bc+c$ >0, 即ac+b+1>0, ∴ ⑤×

答案：B.

例9 在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数 $y=ax^2+bx$ 的图象可能为（）

分析：方法1、看直线和抛物线中的a、b是否有符号上的矛盾；方法2、看抛物线是否过原点；方法3、找直线和抛物线与x轴的交点.

答案：A.

小结：一次函数 $y=kx+b$ 与二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 中字母的符号规律

一次函数中，k决定直线的方向（上升过下降），b决定直线与y轴的交点.
二次函数中，a决定抛物线的开口，c决定抛物线与y轴的交点.
二次函数中，对称轴在y轴左侧时，a、b同号，反之a、b异号（简称“左同右异”）.

例10 看图写结论

（1）已知二次函数 $y=-x^2+2x+m$ 的部分图象如图1所示，则关于x的一元二次方程 $-x^2+2x+m=0$ 的解为______．

分析：将(3,0)代入，得m=3, 则 $-x^2+2x+3=0$ , 即 $x^2-2x-3=0$ ， $x_1$ =3, $x_2$ =-1.

答案： $x_1$ =3, $x_2$ =-1.

（2）如图2所示的抛物线是二次函数 $y=ax^2-3x+a^2-1$ 的图象，那么a的值是______．

分析：因为图象过(0,0)，故 $a^2-1=0$ , a=1或a=-1, 又开口向下，故a=-1.

（3）如图3，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ ,的图象相交于A、B两点，根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围是______.

分析：过A点的红色直线、y轴、过B点的绿色直线将整个坐标平面分成4个区域（这3条直线除外），从左至右为区域1，区域2，区域3，区域4，从图可知区域1和区域3内的直线高于双曲线，符合题意.

答案：x<-3或0<x<1.

四、会与其它知识联系

前面已经提到，函数问题往往与许多其它数学知识相联系，尤其是与方程、不等式以及几何的联系更加密切.

1、与方程的联系

例11 （1）直线y=2x-1与直线y=-x+5的交点坐标是。（2）方程 $x^2-5=\frac{6}{x}-4x$ ,的根的个数，与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同？通过画图，确定这个方程根的个数.

分析（1）∵两条直线的交点坐标同时满足两个解析式 ∴可以解方程组来获得交点坐标. $\left\{\begin{matrix} y=2x-1\\ y=-x+5\end{matrix}\right.$ ， $\left\{\begin{matrix} x=2\\ y=3\end{matrix}\right.$ .所以交点是（2，3）.

（2）从第(1)题我们已经看到，方程组的解可以决定两个函数图象的交点，而(2)中的方程解的个数就是下面方程组解的个数.

$\left\{\begin{matrix} y=x^2+4x-5\\y=\frac{6}{x}\end{matrix}\right.$ .

这个方程组的解又与二次函数 $y=x^2+4x-5$ 和反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 图象的交点有直接的联系，我们画出两个图象如右图.

由图可见，两个图象有3个交点，即原方程有3个解.

2、与不等式的联系

例12 （1）直线y=-3x+2上有一动点A(x,y)，设经过点(0,8)且平行于x轴的直线为m，经过点(0,-1)且平行于x轴的直线为n，当x取值范围是______时，点A在直线m、n之间.（2）不等式 $x^2-2x-3>0$ 的解，相当于函数______的图象在x轴______方的x取值范围.

分析：（1）先画出大致图象，我们从图中发现：-1<y<8, 即-1<-3x+2<8，-2<x<1.

(2)答案： $y=x^2-2x-3$ ；上.

3、与几何的联系

例13 如图，点A在抛物线 $y=\frac{1}{4}x^2$ 上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于B，延长AO、BO分别与抛物线 $y=\frac{1}{8}x^2$ 相交于点C、D，连接AD、BC，设点A的横坐标为m，且m>0．
（1）当m=1时，求点A、B、C、D的坐标；
（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；
（3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论．

分析：（1）解：将x=1代入 $y=\frac{1}{4}x^2$ ，得 $y=\frac{1}{4}$ ，由AB∥CD得 △AOB∽△COD，故 DF=4FO,设D(4y,-y)，得 $-y=-\frac{1}{8}(4y)^2$ ，y=1/2(舍零)，故A(1,1/4), B(-1, 1/4), C(-2,-1/2), D(2, -1/2)

（2）由A在抛物线上可知，AE=m，EO= $\frac{1}{4}m^2$ ，因AO⊥BO，AO=BO，故EO=AE， ∴ $\frac{1}{4}m^2=m$ ，m=4(舍零).

（3）猜想：CD=2AB. 证明：由A在抛物线上可知，AE=m，EO= $\frac{1}{4}m^2$ ，由AB∥CD得△AOB∽△COD， DF= $\frac{4}{m}$ FO，设D(4y,-my)，得-my= $-my=-\frac{1}{8}(4y)^2$ ，故y= $\frac{m}{2}$ ，DF=2m，DF=2AE，即CD=2AB.

五、会用函数解决实际问题

许多实际问题有两个变量，往往就有函数关系存在。利用函数关系式可以解决实际问题中的数量关系和最值问题.

例14 陈琳从甲地匀速前往乙地，3h后距离乙地110km，5h后距离乙地50km。问几h后到达乙地？

解：设x(h)后距离乙地y(km)，陈琳速度为v(km/h)，甲乙两地相距a(km)，

由已知，得y=a-vx，将x=3,y=110和x=5,y=50代入，得 $\left\{\begin{matrix}110=a-3v\\ 50=a-5v\end{matrix}\right.$ ，解之，. $\left\{\begin{matrix} v=30\\ a=200\end{matrix}\right.$ ，

所以，y=200-30x，当y=0时陈琳到达乙地，即200-30x=0， $x=6\frac{2}{3}$ .

答：陈琳行了 $x=6\frac{2}{3}$ h到达乙地.

例15 一学生推铅球，在距地面 $\frac{5}{3}$ m的A处推出铅球，铅球经过的路线呈抛物线状（如图建立平面直角坐标系），如果抛物线的最高点M离y轴距离4m，距地面高度为3m，求该学生推铅球的成绩。

解：由已知，A(0,5/3)，顶点M(4,3)，设抛物线的解析式为 $y=a(x-4)^2+3$ ，将A点坐标代入上述解析式，得16a+3= $\frac{5}{3}$ ，a= $-\frac{1}{12}$ ，所以 $y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$ ，令y=0，则 $-\frac{1}{12}(x-4)^2+3=0$ ，解得x=10(舍负).

答：该学生推铅球的成绩为10米.

例16 有一种螃蟹，放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假定放养期内蟹的个体重量基本不变.现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元.但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去.假定死蟹均于当天全部出售，售价都是每千克20元.

(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数解析式；

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数解析式；

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？

解：(1) p=30+x.

（2）Q=(1000-10x)(30+x)+10x·20，即Q=-10 $x^2$ +900x+30000.

（3）设利润为y元，则y=(-10 $x^2$ +900x+30000)-1000×30-400x y=-10 $x^2$ +500x=-10 $(x-25)^2$ +6250.

答：放养25天后可以获得最大利润，最大利润是6250元.

例17 某次数学考试，因试卷难度大而导致成绩普遍很差,老师为了提高学生的分数，采用将每人分数先开方再乘以10的方法。如36分的人计算方法是 $10\times\sqrt{36}=60$ 分,即经过这样处理后的分数比原来高了24分。一个爱动脑筋的同学发现：不同的成绩增加的分数不一样多。请问几分的人经过处理后加分最多？说明道理.

解：设原成绩为 $x^2$ 分，处理后增加的分数为y分.

则处理后的分数是10x分. 由已知，得y= $10x-x^2$ , 配方，得y= $-(x-5)^2$ +25，所以当x=5时，y有最大值是25.

答：25分的人加分最多.

例18 如图，正方形ABCD边长为2，E在AB上，FE⊥DE交BC于F，随着E点从A向B移动。（1）BF的最大值是多少？（2）F点是如何移动的？

解：（1）设AE=x，BF=y. 由已知，容易证明△ADE∽△BEF, 所以 $\frac{AD}{EB}=\frac{AE}{BF}$ ， $\frac{2}{2-x}=\frac{x}{y}$ ，解出 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$ .

答：BF的最大值是 $\frac{1}{2}$ .

（2）如图由函数图象可知，F点由B点先升到高度为 $\frac{1}{2}$ 处，再倒过来回向B点移动直至与B重合。

用二次函数解决最值问题的方法:

寻找问题中的数量关系
分别用两个字母表示两个变量
列出二次函数关系
用二次函数性质求出最值

亲爱的同学，如果本文对你的学习有所帮助，请你给我好评.如果你觉得辅导还不到位，也请你留言指出，也许我还能为你做点什么.

如果你要本文的PPT文件，请点击这里.如果你想看本文的视频，请点击这里.