初中数学《函数》复习

函数是初中数学的重要内容,它集坐标系、方程(组)、不等式、应用题、几何知识于一身,是初中数学知识的集中体现,是整个初中数学的难点,也是中考的重点.

许多学生认为函数难学,这个“难”缘自哪里?其实,函数本身并不难,往往难在没有学好其它知识,也可能是因为没有掌握解题的基本方法.

我们从五个方面来复习一下函数,你将全面了解函数的系统知识,学会基本的解题方法,体会到解决问题的基本策略.

  1. 会用函数的基本性质
  2. 会用函数图象解决问题
  3. 会看函数图象
  4. 会与其它知识联系
  5. 会用函数解决实际问题

一、会用函数的基本性质

1、一次函数的性质

例1  一次函数y=-2x+3的图象是经过______的______,它与y轴交于______,它不经过第______象限,y随x的增大而______。将它向______平移______个单位后图象过原点,这时就成为正比例函数.

答案:(0,3)和(1,1)(答案不惟一);一条直线;(0,3);三;减小;下、3或左、\frac{3}{2}.

2、反比例函数的性质

例2  A是双曲线y=-\frac{6}{x}上一点,AB⊥x轴于B,O是坐标原点,那么当x>0时,y随x的增大而______,\triangle{ABO}的面积是______,此双曲线关于______对称.

分析:对于反比例函数y=\frac{k}{x}我们要牢记S_{\triangle{AOB}}=\frac{|k|}{2}的结论。对称性可由图看出.

答案:增大;3;原点或二、四象限的角平分线或一、三象限的角平分线.

3、二次函数的性质

例3  已知二次函数y=-3x^2+12x-9,回答下列问题(1)化为顶点式是______,化为交点式是______.(2)图象的顶点坐标是______,对称轴是______,当x______时y随x的增大而增大。当x=______时y有最______值是______.若将抛物线向上平移2个单位,向左平移6个单位,得到的抛物线解析式为______. (3)图象与y轴的交点坐标是______,与x轴的交点坐标是______.

分析:配方的过程是y=-3(x^2-4x)-9 =-3(x^2-4x+4)-9+12 =-3(x-2)^2+3.

平移的方法是“向上平移几,顶点纵坐标就加几,向左平移几括号内的数就加几”,即“上加下减、左加右减”.

答案:y=-3(x-2)^2+3;y=-3(x-3)(x-1);(2,3);直线x=2;<2;2;大;3;y=-3(x+4)^2+5;(0,-9);(1,0)、(3,0).

例4  已知抛物线y=ax^2+bx+c,(1)若抛物线与x轴交于(-3,0),(1,0),则对称轴是______.(2)当a+b+c=0时,抛物线一定过点______,当a-b+c=0时,抛物线一定过点______.(3)当b^2-4ac______0时,抛物线与x轴有两个交点.(4)当______时,抛物线过原点;当______时,抛物线的顶点在y轴上(或者说以y轴为对称轴);当______时,抛物线的顶点在x轴上.(5)若x取x_1x_2时,y的值相等,则x\frac{{x_1}+{x_2}}{2}时,y的值等于______.

分析:

1、根据抛物线的对称性,当抛物线与x轴交于(x_1,0)和(x_2,0)两点时,对称轴是直线x=\frac{{x_1}+{x_2}}{2}.

2、根据“过点代入”的原则,当抛物线y=ax^2+bx+c过(1,0)时,a+b+c=0;过(-1,0)时,a-b+c=0.

3、\Delta的符号是判断抛物线与x轴交点个数的依据.

4、y=ax^2+c顶点在y轴上,y=ax^2+bx过原点,y=a(x+m)^2顶点在x轴上.

答案:直线x=-1;(1,0);(-1,0);>;c=0;b=0;b^2-4ac=0\frac{4ac-b^2}{4a}.

二次函数基本性质小结:

1、抛物线是轴对称图形,对称轴是直线x=-\frac{b}{2a}.

2、由顶点式可以解决顶点坐标,对称轴,最大(小)值,增减性,平移等问题.

3、抛物线与x轴的两个交点(x_1,0)、(x_2,0)是关于对称轴对称的.

4、b^2-4ac=0的值决定了抛物线与x轴的交点个数.

5、b=0时顶点在y轴上,Δ=0时顶点在x轴上,c=0时图象过原点.

6、平移时“上加下减,左加右减”.

7、已知抛物线的顶点求解析式时,可以用顶点式.  已知抛物线与x轴的两个交点求解析式时,可以用交点式.

二、会用函数图象解决问题

许多函数问题本身没有图象,如果我们画出图象,利用其图象的某些几何性质来解决,显得灵活、直观、简便。画图多多,好处多多.

例5  反比例函数y=\frac{2}{x}和一次函数y=x+b的图象交于A、B两点,A点的横坐标是2,则B点的坐标是______.

分析:本题没有图,我们先画图象(下同).  这两个图象都关于2、4象限角平分线对称,所以A、B两点也关于2、4象限角平分线对称.于是可以根据对称性直接写出B点的坐标,而不是通过解方程.

答案:(-1,2)

例6   抛物线y=\frac{1}{2}x^2-8与x轴交于A、B两点,顶点为C,为使△ABC成为直角三角形,必须将抛物线向上平移几个单位(    )

A、7         B、6          C、5         D、4

解:设平移后的抛物线为y=\frac{1}{2}x^2+c,则C的坐标为(0,c).因为AC=BC,\angle{ACB}=90^\circ,所以AO=BO=CO,所以A的坐标为(-c,0),代入得0.5c^2+c=0,解出c=-2(舍零),C的值由-8增加到-2,应选B.

例7   已知抛物线y=ax^2-2ax-1+a(a>0)与直线x=2,直线x=3,直线y=1,直线y=2围成的正方形有公共点,则a的取值范围是______.(注:直线y=1即为过(0,1)点平行于x轴的直线).

分析:当a>0时,抛物线过C点是最低位置(其中的一个极端),此时C(3,1)代入得,9a-6a-1+a=1,a=\frac{1}{2}.  抛物线过A点是最高位置(其中的另一个极端),此时A(2,2)代入得,4a-4a-1+a=2,a=3.故a的取值范围是\frac{1}{2}\le{a}\le{3}.这种方法是利用极端的位置来解决问题的,我称之为“极端原理”.

当a<0时,无解.

三、会看函数图象

对已经给出的函数图象,要求我们能看懂图中的有用信息,达到解决问题的目的。这与函数性质的掌握有直接的关系.

例8  已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示,OA>OB,有下列5个结论:    ①abc>0 ;②b<a+c;③ 4a+2b+c<0 ;④ 2a+b<0 ;⑤ ac+b+1=0,其中正确的结论有(   )

A.2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

分析:(1)∵a<0,b>0,c>0, ∴①×

(2)∵x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,即b>a+c,∴ ②×

(3)∵x=2时,y<0, ∴4a+2b+c<0,∴ ③ √

(4)∵对称轴在x=1的左边, ∴-\frac{b}{2a}<1, ∵a<0, ∴-b>2a2a+b<0, ∴ ④ √

(5)∵ OA>OB, ∴在OA上有一点C使OC=OB。 ∵B(0,c),∴D(c,y), 且y>0将其代入得ac^2+bc+c>0, 即ac+b+1>0, ∴ ⑤×

答案:B.

例9  在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax^2+bx的图象可能为(   )

分析:  方法1、看直线和抛物线中的a、b是否有符号上的矛盾;  方法2、看抛物线是否过原点;  方法3、找直线和抛物线与x轴的交点.

答案:A.

小结:一次函数y=kx+b与二次函数y=ax^2+bx+c中字母的符号规律

  • 一次函数中,k决定直线的方向(上升过下降),b决定直线与y轴的交点.
  • 二次函数中,a决定抛物线的开口,c决定抛物线与y轴的交点.
  • 二次函数中,对称轴在y轴左侧时,ab同号,反之ab异号(简称“左同右异”).

例10   看图写结论

(1)已知二次函数y=-x^2+2x+m 的部分图象如图1所示,则关于x的一元二次方程-x^2+2x+m=0的解为______.

分析:将(3,0)代入,得m=3, 则-x^2+2x+3=0, 即x^2-2x-3=0x_1=3,x_2=-1.

答案:x_1=3,x_2=-1.

(2)如图2所示的抛物线是二次函数y=ax^2-3x+a^2-1的图象,那么a的值是______.

分析:  因为图象过(0,0),故a^2-1=0, a=1或a=-1, 又开口向下,故a=-1.

(3)如图3,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=\frac{m}{x},的图象相交于A、B两点,根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围是______.

分析:过A点的红色直线、y轴、过B点的绿色直线将整个坐标平面分成4个区域(这3条直线除外),从左至右为区域1,区域2,区域3,区域4,从图可知区域1和区域3内的直线高于双曲线,符合题意.

答案:x<-3或0<x<1.

四、会与其它知识联系

前面已经提到,函数问题往往与许多其它数学知识相联系,尤其是与方程、不等式以及几何的联系更加密切.

1、与方程的联系

例11  (1)直线y=2x-1与直线y=-x+5的交点坐标是。(2)方程x^2-5=\frac{6}{x}-4x,的根的个数,与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同?通过画图,确定这个方程根的个数.

分析(1)∵两条直线的交点坐标同时满足两个解析式 ∴可以解方程组来获得交点坐标.\left\{\begin{matrix} y=2x-1\\ y=-x+5\end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x=2\\ y=3\end{matrix}\right..所以交点是(2,3).

(2)从第(1)题我们已经看到,方程组的解可以决定两个函数图象的交点,而(2)中的方程解的个数就是下面方程组解的个数.

\left\{\begin{matrix} y=x^2+4x-5\\y=\frac{6}{x}\end{matrix}\right..

这个方程组的解又与二次函数 y=x^2+4x-5和反比例函数y=\frac{6}{x}图象的交点有直接的联系,我们画出两个图象如右图.

由图可见,两个图象有3个交点,即原方程有3个解.

2、与不等式的联系

例12  (1)直线y=-3x+2上有一动点A(x,y),设经过点(0,8)且平行于x轴的直线为m,经过点(0,-1)且平行于x轴的直线为n,当x取值范围是______时,点A在直线mn之间.(2)不等式x^2-2x-3>0的解,相当于函数______的图象在x轴______方的x取值范围.

分析:(1)先画出大致图象,我们从图中发现:-1<y<8, 即-1<-3x+2<8,-2<x<1.

(2)答案:y=x^2-2x-3;上.

3、与几何的联系

例13  如图,点A在抛物线y=\frac{1}{4}x^2上,过点A作与x轴平行的直线交抛物线于B,延长AO、BO分别与抛物线y=\frac{1}{8}x^2相交于点C、D,连接AD、BC,设点A的横坐标为m,且m>0.
(1)当m=1时,求点A、B、C、D的坐标;
(2)当m为何值时,四边形ABCD的两条对角线互相垂直;
(3)猜想线段AB与CD之间的数量关系,并证明你的结论.

分析:(1)解:将x=1代入y=\frac{1}{4}x^2, 得y=\frac{1}{4},由AB∥CD得 △AOB∽△COD,故  DF=4FO,设D(4y,-y),得-y=-\frac{1}{8}(4y)^2,y=1/2(舍零),故A(1,1/4),  B(-1, 1/4),  C(-2,-1/2),  D(2, -1/2)

(2)由A在抛物线上可知,AE=m,EO=\frac{1}{4}m^2, 因AO⊥BO,AO=BO, 故EO=AE, ∴\frac{1}{4}m^2=m,m=4(舍零).

(3)猜想:CD=2AB.   证明:由A在抛物线上可知,AE=m,EO=\frac{1}{4}m^2,由AB∥CD得△AOB∽△COD,  DF=\frac{4}{m}FO,设D(4y,-my),得-my=-my=-\frac{1}{8}(4y)^2, 故y=\frac{m}{2},DF=2m,DF=2AE,即CD=2AB.

五、会用函数解决实际问题

许多实际问题有两个变量,往往就有函数关系存在。利用函数关系式可以解决实际问题中的数量关系和最值问题.

例14      陈琳从甲地匀速前往乙地,3h后距离乙地110km,5h后距离乙地50km。问几h后到达乙地?

解:设x(h)后距离乙地y(km),陈琳速度为v(km/h),甲乙两地相距a(km)

由已知,得y=a-vx,将x=3,y=110x=5,y=50代入,得\left\{\begin{matrix}110=a-3v\\ 50=a-5v\end{matrix}\right.,解之,.\left\{\begin{matrix} v=30\\ a=200\end{matrix}\right.

所以,y=200-30x,当y=0时陈琳到达乙地,即200-30x=0,x=6\frac{2}{3}.

答:陈琳行了x=6\frac{2}{3}h到达乙地.

例15  一学生推铅球,在距地面\frac{5}{3}m的A处推出铅球,铅球经过的路线呈抛物线状(如图建立平面直角坐标系),如果抛物线的最高点M离y轴距离4m,距地面高度为3m,求该学生推铅球的成绩。

解:由已知,A(0,5/3),顶点M(4,3),设抛物线的解析式为y=a(x-4)^2+3,将A点坐标代入上述解析式,得16a+3=\frac{5}{3},a=-\frac{1}{12},所以y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3,令y=0,则-\frac{1}{12}(x-4)^2+3=0,解得x=10(舍负).

答:该学生推铅球的成绩为10米.

例16  有一种螃蟹,放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假定放养期内蟹的个体重量基本不变.现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元.据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元.但是,放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去.假定死蟹均于当天全部出售,售价都是每千克20元.

(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数解析式;

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数解析式;

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)?最大利润是多少?

解:(1)  p=30+x.

(2)Q=(1000-10x)(30+x)+10x·20,即Q=-10x^2+900x+30000.

(3)设利润为y元,则y=(-10x^2+900x+30000)-1000×30-400x y=-10x^2+500x=-10(x-25)^2+6250.

答:放养25天后可以获得最大利润,最大利润是6250元.

例17  某次数学考试,因试卷难度大而导致成绩普遍很差,老师为了提高学生的分数,采用将每人分数先开方再乘以10的方法。如36分的人计算方法是10\times\sqrt{36}=60分,即经过这样处理后的分数比原来高了24分。一个爱动脑筋的同学发现:不同的成绩增加的分数不一样多。请问几分的人经过处理后加分最多?说明道理.

解:设原成绩为x^2分,处理后增加的分数为y分.

则处理后的分数是10x分.  由已知,得y=10x-x^2,  配方,得y=-(x-5)^2+25,  所以当x=5时,y有最大值是25.

答:25分的人加分最多.

例18  如图,正方形ABCD边长为2,E在AB上,FE⊥DE交BC于F,随着E点从A向B移动。(1)BF的最大值是多少?(2)F点是如何移动的?

解:(1)设AE=x,BF=y.  由已知,容易证明△ADE∽△BEF,   所以\frac{AD}{EB}=\frac{AE}{BF}\frac{2}{2-x}=\frac{x}{y},解出y=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}.

答:BF的最大值是\frac{1}{2}.

(2)如图由函数图象可知,F点由B点先升到高度为\frac{1}{2}处, 再倒过来回向B点移动直至与B重合。

用二次函数解决最值问题的方法:

  1. 寻找问题中的数量关系
  2. 分别用两个字母表示两个变量
  3. 列出二次函数关系
  4. 用二次函数性质求出最值

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