从《西姆松定理及其退化形式》想到的

前一篇文章《西姆松定理及其退化形式》中提到了,圆上的点退化成圆外的点,结果发生了许多有趣的现象。如果将这样的做法在下面的问题中进行会怎样呢?

一、一个熟悉的问题

如图,△ABC中,∠A≠60°,在三角形同侧作三个正三角形ABD,ACE,BCF,那么四边形DAEF为平行四边形。

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二、问题变式

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西姆松定理及其退化形式

一、西姆松定理及其证明

1、定理

如图1.1,P是△ABC外接圆上一点,自P向三边所在的直线作垂线,垂足是D,E,F,那么D,E,F三点共线.

2、证明

连PA、PB,∵P、E、B、D及P、D、F、A四点共圆,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠AFP=∠BEP,∠FAP=∠EBP,∴∠2=∠4,
∴∠1=∠3,∴D、E、F三点共线.

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我的新发现

在几何画板中画了一个三角形ABC和一条角平分线AD,拖动A点时发现:

当A点和BC的距离d保持不变时,D点的活动范围不是很大,而且d越大,D点的活动范围就越小。于是就猜想:D点的活动范围(设为m)是受d和BC的长a制约的。也就是说d和a可以表示m。

亲,你如果认为我的猜想是对的,请帮我解决写出这个关系式。

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下面是三种解答方法:

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用几何画板发现的结论

问题:如图,直角梯形纸片ABCD,AD⊥AB,AB=6,AD=CD=3,点E、F分别在线段AB、AD上,将△AEF沿EF翻折,点A的落点记为P,当P落在直角梯形内部时,PD的最小值等于       

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要解决这个问题并不容易,用几何画板做一个课件吧。步骤如下: 继续阅读“用几何画板发现的结论”

自编一道几何题,欣赏几种解法

几何画板真是好东西,画图时无意间发现了如下两个命题。

一、如图,作△ABC两边AB、AC的中垂线交于D,⊙A经过D,且与两条中垂线交于E、F,求证:EF=BC。

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解法1:

如图,连MN,由垂径定理可知AM垂直平分ED,AN垂直平分DF,那么MN既是△ABC的中位线,又是△DEF的中位线,

故EF=BC。

解法2:

如图,由AB、DE互相垂直平分得四边形AEBD是菱形,同理四边形AFCD也是菱形,所以BE和CF平行且星等,

故四边形BCFE是平行四边形,那么EF=BC。

二、已知△ABC内接于圆O,H是垂心,O关于AB,AC的对称点为O’,O”,求证:四边形AO’HO”为菱形。

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