几何画板真是好东西，画图时无意间发现了如下两个命题。
一、如图，作△ABC两边AB、AC的中垂线交于D，⊙A经过D，且与两条中垂线交于E、F，求证：EF=BC。
解法1：
如图，连MN，由垂径定理可知AM垂直平分ED，AN垂直平分DF，那么MN既是△ABC的中位线，又是△DEF的中位线，
故EF=BC。
解法2：
如图，由AB、DE互相垂直平分得四边形AEBD是菱形，同理四边形AFCD也是菱形，所以BE和CF平行且星等，
故四边形BCFE是平行四边形，那么EF=BC。
二、已知△ABC内接于圆O，H是垂心，O关于AB,AC的对称点为O’,O”，求证：四边形AO’HO”为菱形。
本题中的O,O’,O”，分别是上题中的D,E,F，所以易证AO’=AO”，O’O”与BC平行且相等，因为H为垂心（即△ABC高的交点）,所以直线AH是O’O”的中垂线，所以HO’=HO”，其余的解法如下。
解法1：
以O’为圆心、O’A为半径作圆，在弧AB上任取一点E，连EA,EB,AH,BH,BO’，由垂心性质可知∠AHB=180°-∠C，
∠AO’B=∠AOB=2∠C，所以∠E=∠C，所以∠E和∠AHB互补，所以H在圆O’上，故O’A=O’H，所以四边形AO’HO”是菱形。
解法2：
以O’，O’’为圆心，OA为半径作圆交于H’，那么AH’⊥O’O”（连心线垂直平分公共弦），
因为O’O”∥BC，所以AH’⊥BC，AD是高。
同理以O”’为圆心，OA为半径作圆也交于H’，且BH’也是高，
那么H’即为垂心H，所以AO’HO”是菱形。
解法3：作弦心距OM，因为AO’=OB，AE、OM以及BM、O’E均平行，故△AO’E≌△OBM，所以OM=AE。
又因为AH=2OM（三角形一个顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍），所以E是AH的中点，
所以AH与O’O”互相垂直平分，即四边形AO’HO”是菱形。
解法3中命题“三角形一个顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍”的证明。
已知：O为△ABC的外心，H为垂心，OM是弦心距。
求证：AH=2OM。
证明：如图添出辅助线，易证AG∥CF，CG∥AD，所以四边形AHCG是平行四边形，所以AH=CG=2OM。
解法4：
设圆O的半径为R，
如图作辅助线，易证四边形AKBH为平行四边形（理由同上）。
所以BH=AK=2OG=OO”，所以BH∥OO”，所以OBHO”是平行四边形，所以O”H=OB=R=AO”，
即四边形AO’HO”是菱形。
还发现，
（1）当∠BAC=45°时，菱形变成正方形。
如图画O的三个对称点D,E,F，那么还有这样的一些结论：
（2）三角形DEF与三角形ABC全等；
（3）O是三角形DEF的垂心，H是三角形DEF的外心
