解题的习惯有两种，一种是为了解题而解题，解完后不作任何思考，很快遗忘。另一种解题后有思考：本题的条件可以如何改造，结论可否拓展，图形可否改变，与以前的问题有何联系，解题方法带有哪些一般规律，等等。
两种不同的的习惯，反映了两种不同的价值取向。前者对数学不感兴趣，学习效率低下，后者对数学有强烈的好奇心，学习效益逐渐显露。我把解题后能进行思考的现象叫做“解题留余地”，留思考的空间，留拓展的余地。这个习惯很难养成，因为这需要很好的数学基础作支持。作为一名教师，这是专业能力和敬业精神的体现。
我坚持着“解题留余地”。逐渐地，想到问题深入了，得到结论深刻了，看到现象全面了，我能想到而别人想不到的时候多了。我经常思考些什么呢？下面以具体问题为例，来一一说明。
一、得出一般性结论
例1 如图，正三角形ABC中，D、E分别在BC、AC上，AE=CD=6，AD=9，求E到AD的距离。
分析：先证△ABD≌△BCE，后证△APE∽△BAE，还有∠APE=60°，再由AE^2=EP\times{EB}算出EP的长，即可知道EH的长。
思考：
1、从上题的图形中分离出一个基本图形（如下），图中的两个三角形△APE和△BAE，有公共角∠E和公共边AE，并且∠PAE=∠B，于是△APE∽△BAE，从而有结论AE^2=EP\times{EB}和\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{BE}。这个图形我喜欢称为“两个公共”。
我们可以归纳出这样一个一般的结论：
如图，如果有两个公共的两个三角形相似，那么公共边是同一直线上的两边的比例中项，公共角所对的边之比等于相似比。（关于这个结论的应用，请见下一篇文章“几何中的基本模式”）
2、若正三角形ABC中，D、E分别在BC、AC上，AE=CD，则除了上面结论外，还有以下结论：
①有2对全等三角形；②有6对相似三角形；③∠APE=60°
二、归纳一般性方法
例2 如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上，BD=CE，DE交BC于F，求证：DF=EF。
分析：如下图1，作DG=DB，则可证△DFG≌△EFC。
思考：
△BDF和△EFC中，有BD=CE，∠DFB=∠CFE，DF=EF（虽然要证，但一定相等），可是这两个三角形却不全等。为什么有三对元素相等了，两个三角形还不全等呢？这是因为“边边角”的缘故。
我们发现，凡是“边边角”的两个三角形不全等的话，一定相差一个等腰三角形。所以本题的证明实际上是割掉一个等腰三角形。
也可以像图2那样补上一个等腰三角形，或者像图3那样割掉且补上半个等腰三角形（直角三角形）。
这样的解题方法再举一例。
例3 如图四边形ABCD中，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，求证：BD=CD。
和例2一样，两个三角形有三对元素相等，但却不全等，这是因为“边边角”的缘故。于是可以用割补法，添出如下图的辅助线。
三、问题深入和拓展
例4 如图△ABC中，D、E在BC上，AB=BE，CD=CA，当∠BAC=90°时，求∠DAE的度数。
这是一道极为普通的题目，计算结果为∠DAE=45°.我们可以思考些什么呢？
（1）结果的45°是条件90°的一半。难道当∠BAC=x°时，∠DAE=\frac{1}{2}x？
其实这个猜想是错误的，正确的结果是∠DAE=90-\frac{1}{2}x。
（2）当∠BAC变化时，∠DAE的有没有最大值？是多少？
当∠DAE=∠BAC时，∠DAE取得最大值，这时x=90-\frac{1}{2}x，x=60°.
（3）当∠BAC变化时，∠DAE的变化范围是什么呢？
答：0°<x≤60°.
前面我写过《一段数学探究活动纪实》也属于这个内容。
例5 如图，有不同形状的五个三角形，都已知了两个角的度数。请你分别在每个三角形中画一条分割线，将每个三角形分割成两个等腰三角形，并标出等腰三角形两个底角的度数。
解：分割线见下图。
解题后思考如下：
思考1：直角三角形一定可以分成两个等腰三角形吗（如1,2两个图）？答：可以，斜边上中线就是分割线。
思考2：一个角是另一个角2倍的三角形（简称“2倍角三角形”）一定可以分成两个等腰三角形吗（如3,4两个图）？
答：一般可以，但像二个角是50°和100°的三角形不能分。
思考3：2倍角三角形满足什么条件时一定可以分成两个等腰三角形？
答：设两个角分别为x和2x，则有x<180-x-2x，得x<45.
思考4：不满足x<45的两倍角三角形一定不能分成两个等腰三角形吗？
答：不是，如x=45时可以分。
思考5：如果两倍角三角形满足x>45，一定不能分成两个等腰三角形吗？
答：当三个角分别为x,2x,\dfrac{1}{2}x时，可以分的。这时可以算出x=\dfrac{360}{7}>45。
思考6：3倍角三角形一定可以分成两个等腰三角形吗（如图5）？
答：一定可以。
思考7：分成2个等腰三角形思考的差不多了，分成3个等腰三角形又如何呢？先考虑直角三角形吧。
答：可以，方法见下。
思考8：锐角三角形是否一定可以将它分成三个等腰三角形？
答：可以，沿着三角形两边中垂线的交点和顶点的连线剪开即可。
思考9：钝角三角形一定可以分成三个等腰三角形吗？
正在茫然中……
四、变化图形的形状
例6 正方形ABCD中，CF平分外角，E在BC上，EF⊥AE交CF于F，求证：AE=EF。
证明时过E作等腰直角三角形BEG，可证△AGE≌△ECF。
思考1：正方形变成正三角形如何呢？
答：正三角形ABC中，CF平分外角，E在BC上，∠AEF=60°交CF于F，求证：AE=EF。
思考2：正方形变成正五边形如何呢？
答：正五边形中，CF平分外角，E在BC上，∠AEF=108°交CF于F，求证：AE=EF。
思考3：正方形变成其它正多边形如何呢？
答：……
五、与其它题的联系
例7 如图，△ABC中，∠BAC=2∠BCA，D在三角形内，DA=DC，BD=BA，求证：∠ABC=3∠DBC。
证明：
如图，作B的对称点B’，则BC平分∠B’CA，
∵BB’∥AC，∴∠B’BC=∠BCA=∠BCB’，
∴BB’=B’C=AB=BD，故△BB’D为正三角形。
设∠BCA=∠B’BC=α，则∠DBC=60-α，∠ABC=180-3α,
故∠ABC=3∠DBC。
思考：
1、本题是下面这道题的拓展
已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，D在三角形内，DA=DC，BD=BA，求∠DBC的度数。
解题方法是补全一个正方形。
2、本题还有一个结论：∠BCD=30°。
3、点D不一定在三角形内，也可以在AC的下方，结论依然成立。
六、问题的反思与联想
例8 求x^2+\frac{1}{x^2}的最小值。
分析：我们将原式变形得：
x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2，或x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})^2+2.
那到底最小值是2还是-2？很多学生说取更小的一个-2.
反思1、x^2+\frac{1}{x^2}是一个非负数，不可能等于-2！
反思2、(x+\frac{1}{x})^2-2要取得最小值，必须x+\frac{1}{x}=0，这是不可能的，所以最小值不会等于-2.
反思3、既然x^2+\frac{1}{x^2}的最小值是2，那么由于x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2，那么(x+\frac{1}{x})^2的最小值是4.
反思4、│x+\frac{1}{x}│的最小值是2.
七、其它的突发奇想
例9 已知a∥b，b∥c，求证：a∥c
上述结论和“若a=b，b=c，则a=c”有点类似，这种现象称为“传递性”，在数学中，传递性的关系还有哪些呢？
有传递性的关系用符号可以表示的有“∥”，“=”，“>”，“<”，“≥”，“≤”，“≌”，“∽”，
没有传递性的关系有“⊥”，“≠”，“倒数”，……
例10 如图已知AB∥DE，AC∥DF，求证：∠A=∠D。
余地1：“如果两个角有两边分别平行，那么这两个角相等”是个假命题。
余地2：如果两个角有两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
余地3：若角的两边都同向（或反向）平行，这两个角就相等；若角的两边一对同向一对反向平行，这两个角就互补。
余地4：如果同向平行记作“+”，反向平行记作“-”，相等记作“+”，互补记作“-”，那么本命题满足“符号法则”，即“正正得正，负负得正，正负得负，负正得负”。
余地5：数学中还有什么现象符合符号法则呢？
答：在繁分数中分母的分母是分子；平行为正，垂直为负，则负负得正；
余地6：在实际问题中，有什么现象符合符号法则呢？
答：敌人的敌人是朋友；反面的反面是正面。
例11 体育场的跑道400米（内圈），跑道由2条直道和2条半圆形弯道组成，当直道长为─────米时，中间矩形场地（绿色）的面积最大。
分析：
设直道长为xm，矩形场地（绿色）的面积为ycm2，则
y=\frac{-2x^2+400}{\pi}.
当x=100时，y取得最大值。
思考：哦！原来100米直道不仅仅是比赛的需要，还能使矩形场地的面积最大。这个结论是偶然的？还是古人早就知道？否则为什么直道都是100米呢？
例12 下列图形中不可以折成正方体的是（ ）
这是一道在平常不过的题了，我想到了很多有意义的问题。
思考1：正方体表面展开图一共有几种？答11种。
思考2：这11种正方体表面展开图，是否都可以放入3×4的正方形网格中？答：有唯一的一个图放不下3×4的正方形网格中。
思考3：如图，我们可以在面积为3×4的矩形中画出多种棱长为1的正方体的表面展开图。我们还可以设计一种面积比3×4更小的矩形，使得我们能在其中画出棱长也为1的正方体的表面展开图。
这个设计图就是如下的图形。
思考4：在同样的面积为3×4的矩形中，我可否在其中画出棱长大于1的正方体的表面展开图？
答：经过试验画出如下的图形：
通过计算得出正方形的边长是\dfrac{\sqrt{233}}{15}>1.
《解题留余地───浅谈数学题的拓展与思考》有一个想法