初三数学总复习开始了

一、今年中考与往年的内容变化

删除的内容:有效数字的概念,一元一次不等式组的应用,等腰梯形,圆与圆的位置关系,极差,频数折线图

新增内容:分母有理化,根的判别式,正多边形与圆的关系,过一点作已知直线的垂线,已知一直角边和斜边作直角三角形,平行线截线段成比例,三角形的重心及其性质,切线长定理,圆柱

不考的内容:位似,投影、黄金分割

要求很低:重心

要求降低:相似三角形

二、复习时如何应对中考内容的变化

删除的内容不再复习,如有此内容的题出现在学习资料里,坚决删除。根据新增内容,编制数学题。

例1  (考分母有理化)将一副三角板如图摆放在一起,连结AC,则tan∠DAC=        

zkfx-1解:

作CE⊥AD 于E ,设CE=1 ,则ED=1 ,CD=\sqrt{2},BD=\sqrt{6},AD=\sqrt{3},AE=\sqrt{3}-1

所以tan∠DAC=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}

例2 (考一元二次方程根的判别式)已知关于x的一元二次方程(a-1)x^2+2(a+2b)x+4b+2=0,问是否会有两个相等的实数根?如果有求这个方程的根,如果没有,说明理由。

解:△=4(a+2b)^2-4(a-1)(4b+2)=0,即(a-1)^2+(2b+1)^2=0,故a=1,而二次项系数不能为零,所以原方程不可能有两个相等的实数根。

例3    (考正多边形和圆的关系)如图⊙O的半径为1,在⊙O上任意取一点A,以A为圆心、1为半径画弧,交⊙O于B,再连续截取\stackrel\frown{BC}=\stackrel\frown{CD}=\stackrel\frown{DE}=\stackrel\frown{EF}=\stackrel\frown{AB}。请说明六边形ABCDEF是正六边形。

 

zkfx-2

解:连接6条半径,可证△ABO、△BCO、△CDO、△DEO、△EFO均为正三角形,再用360°减去5个60°,得到∠AFO=60°,故六边形ABCDEF是正六边形。

例4    (考正多边形和圆的关系)如图,弦AB是⊙O内接正八边形一边,弦AC是⊙O内接正十二边形一边,那么弦CB是⊙O内接正        边形一边。

csfx-3解:连OA,OB,OC,∵弦AB是⊙O内接正八边形一边,∴∠AOB=45°,同理,∠AOC=30°,那么∠BOC=15°,∴弦CB是⊙O内接正24边形一边。

例5    (考尺规作图)小明学了角平分线的尺规作图后,老师要求大家用尺规作如下图形:

已知线段AB和AB上一点P,过P点作AB的垂线。小明成功作图的原因可能是考虑到(    )

A.平角的一半是90°      B.垂线段最短       C.线段中垂线上的点到线段两端点距离相等

D.垂直于同一直线的两条直线平行

解:选A,过直线上一点作直线的垂线相当于作平角的角平分线。

例6    (考平行线分线段成比例定理)梯形ABCD中,AD∥BC,对角线交于O,直线EF∥AD,且交AB于E,交CD于F,

(1)若EF过点O,求证:OE=OF;

(2)若EF交对角线于P,Q,求证:PE=QF。

csfx-4解:用“A字型”及平行线分线段成比例定理,可以轻松搞定。

例7    (考重心)如图,ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AE,AF交BD于G,H,GH=3,连AC交BD于O.

(1)点G是△ABC的       心;(2)OG=       OB;(3)求BD的长。

csfx-5解:由平行四边形的性质可知,G,H分别是△ABC和△ADC的重心,所以OG=\frac{1}{3}OB,BD=3GH=9.

例8   (考正多边形和圆的关系)在怎样的正多边形中,可以找到3个顶点,使这3点构成直角三角形?

解:只有正偶数边形,其外接圆的直径才有可能是它的一条对角线。

例9    (考圆柱)如图,是一个高为50cm,底面周长为10cm的圆柱形弹簧,这个弹簧有12圈钢丝缠绕而成,做成一个这样的弹簧至少需要多少cm长的钢丝?

csfx-6解:侧面展开后,利用勾股定理计算,一圈钢丝的长为:

\sqrt{10^2+(\frac{50}{12})^2}=\frac{5}{6}\times13,12圈钢丝总长=\frac{5}{6}\times13\times12=130(cm)。

例10   (考切线长定理)⊙I为△ABC的内切圆,F,G,H是切点,AB=9,BC=8,CA=10,

(1)如图1,求AF;

(2)点D、E分别为AB、AC上的点,且DE为⊙I的切线,P为切点,

①如图2,求△ADE的周长;

②如图3,DE||BC,求DE的长。

csfx-7解:(1)AF=(9+10-8)÷2=5.5

(2)△ADE的周长=2AF=11

(3)△ADE的周长:△ABC的周长=DE:BC,DE=\frac{11}{27}\times8=\frac{88}{27}

三、初三数学复习策略

1、不要以为学生都懂了,知识点要到位。如:自然数、整式、因式分解、坐标、等弧、平行四边形、众数等的概念许多学生容易遗忘和搞混。

例11  有以下三个命题:

(1)平行四边形是中心对称图形             (   )

(2) 四边形中只有平行四边形才是中心对称图形(   )

(3)平行四边形不是轴对称图形             (   )

判断这三个命题的正确性,对错误的命题举反例说明。

一定有许多学生因为矩形概念不清楚二出错的。

例12  如图,是根据媒体提供的消息绘制的“宁波各大报刊发行量统计图”,那么发行量的众数是(    )

A、宁波晚报      B、宁波日报和东南商报       C、33万       D、22万

csfx-12

本题同样会因为众数的概念不清楚而出错。

2、 知识要相互穿插,几何题用代数解决,代数题用几何的背景,体现综合性。

例13   如图,在△ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四边形ACDG的周长相等,求证:DG平分∠EDF.

csfx-13

欲证DG平分∠EDF,只需证FG=FD,而这个需要利用代数式的计算加以解决。

例14   某品牌的果冻底面直径为4cm,高为4cm,现将两粒果冻外壳包装一正、一反摆放紧挨在一起(如图1),图2是它的主视图放在平面直角坐标系中,曲线部分呈抛物线型,图3是它的俯视图。

(1)说出图2中两条抛物线(一部分)共同点三条;

(2)设俯视图的两个圆心为O1,O2,两圆的一个交点为E,若O1E⊥O2E,试确定两条抛物线的解析式。

(3)厂家打算将4粒果冻包成一盒,包装盒为长acm,宽4cm,高4cm。求a的最小值(保留根号)。

csfx-14

 

几何、函数、代数计算相结合的一道好题。

3、可以适当补充一些定理和方法,如十字相乘、两点之间的距离、两条直线垂直的条件,四点共圆,抛物线与x轴交点距离,三角形的角平分线定理,梯形中位线定理等等。虽然命题者竭力想避免这些定理和方法的应用,但很难避免的。

例15    (绍兴2013)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上,

(1)如图1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD;

(2)如图2,AC:AB=,EF⊥CE,求EF:EG的值 。

csfx-15

连DE和GF,利用EFDG四点共圆∠FGE=∠EDB=∠B=30°,易得EF:EG=1:\sqrt{3}

例16    如图,△ABC和△ADE均是等腰直角三角形,E在AB上,∠ACB=∠ADE=90°,∠CDF=45°,交AB于F,若BC=8,AD=6,求DF。

csfx-16

本题用ACBD四点共圆来解决极其容易,这是我从一道难题改编的,原题的两个等腰直角三角形只有一个顶点重合,其余均是分离的。

4、及时归纳,强调数学思想,如几何基本模式、左同右异、转化思想、类比思想

例17(转化思想)    如图,正方形ABCD的边长为8cm,分别以AB、AD为直径画半圆,设图中灰色部分大的面积为a ,小的面积为b.求(1)a+b;(2)ab;(3)ab

csfx-17

右图的转化过程可以看出如何将ab转化为正方形减去一个圆的。

例18(类比思想)   (2012黑龙江西鸡)如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN。

⑴ 如图2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD, 点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=1/2∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.

⑵ 如图3,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在DA、CD的延长线上,若∠MBN=1/2∠ABC,试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系?请直接写出猜想,不需证明.

csfx-18前一题怎么做,后一题也怎么做,前一题哪两个三角形全等,后一题也这两个三角形全等,……,这就是类比。

csfx-19

例19(基本图形)    如图,将边长为4的正方形ABCD分割成4个不都全等的等腰三角形,并求各种分割中最大的等腰三角形的面积。

csfx-19-2

最后一种就是基本图形(基本模式),但却想不到。

例20(基本图形)    如图,⊙O1与⊙O2交x轴于A,D, O1、O2在x轴上,A(-3,0),D(5,0),△ABC和△DEF均是正三角形,P,Q分别是弧BC和弧EF上的动点,那么图中5条虚线的和最小值是                  

csfx-20

有一个基本模式:△ABC内接于圆,D在劣弧BC上,那么DA=DB+DC。∴图中5条虚线的和的最小值就等于AD。

例21(归纳)    新疆哈萨克民族是一个游牧民族,喜爱居住毡房(图1),毡房的顶部是圆锥形.如图2,毡房顶部是一个圆锥,母线长AB=3m,下部是一个圆柱,母线BE=3m,已知圆锥的底部直径是5m.

问:(1)顶部圆锥侧面展开图扇形圆心角是多少度?(2)如果(1)中的扇形是由图3 的5个全等的小扇形拼接而成,5个扇形放在一个尽可能小的矩形中,那么建这个毡房至少需要毡布多少m2(结果保留根号)?

csfx-21

解完本题应该将矩形内交叉放置的问题进行归纳,如以下图形,都是通过一条重要的平行线来解决问题的。

csfx-22

5、专题意识:如平行线、网格、折纸、几何变换、尺规作图、SSA、面积和面积法等。举例如下:

▲SSA有以下两条性质:

1.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形可能全等,可能不全等。(所以不能利用“SSA”判定两个三角形全等)

2.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形,满足一定条件时全等。

3.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形如果不全等,那么这两个三角形一定相差一个等腰三角形。

▲网格中的相似三角形

在一个不大的网格中可以画出很多三边之比是1:\sqrt{2}:\sqrt{5}的三角形。

csfx-23

可以改编成一道证明题:

已知△ABC在网格中,求证:∠ACB=135°.

csfx-24还可以有多种变化:

请你在5×5的网格中画出与△ABC相似,且面积最大的格点三角形。

csfx-25

请你在2×7的网格中画出与△ABC相似,且面积最大的格点三角形。

csfx-26

如图,求证:AB是∠CAD的角平分线。

csfx-27

6、解题方法是初三复习的重中之重,如极端原理、三特殊、三角形边之比与角度、角平分线是对称轴、反面、排除法……

例22(极端原理)    如图是两个全等的矩形,它们的中心重合,一个矩形可以绕中心旋转,矩形邻边长分别为2和8,如果重叠部分是菱形,则重叠部分的周长c取值范围是             

csfx-28

上图中第2,3个图就是其中两个极端位置的图形。

例23   三特殊(特殊值、特殊位置、特殊图形)

1、若ab满足\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2,则\frac{a^2+ab+b^2}{a^2+4ab+b^2}=2的值为      

特殊值法:取a=b=1代入之。

2、如图△ABC中,AC=BC,AB=2,∠ACB=90°,D在AB上,E在BC上,DC=DE,EF⊥AB于F。那么DF=              

csfx-29

 

特殊位置法:将D点移到A点或AB的中点。

3、如图,矩形ABCD中,E是CD的中点,F是AD的中点,BE、CF交于G,则EG:BG=             

特殊图形法:将矩形变成正方形。

例24(边的比例)     如图,梯形ABCD中,BC∥AD,∠A=∠D=60°,AB=CD=BC=\frac{1}{2}AD,AB=2+\sqrt{3},折叠梯形ABCD使D落在AB上的D′处,且F D′⊥AB,点C′是点C的对应点,折痕EF分别交AD、BC于点E、F,求DF、CE的长.

csfx-30

本题充分利用特殊直角三角形(含30°)的1:\sqrt{3}:2的比例关系求解。

例25(角平分线是对称轴)  如图AD是△ABC的角平分线,∠B=35°,∠C=70°,AB=a,AC=b,求DC的长(用ab表示)。

csfx-31

一般,角平分线总可以作为对称轴,如图将△ABD以AD为对称轴反射,那么△DCB’是等腰三角形,DC=B’C=ab

例26(反面考虑问题)     已知关于x的两个方程x^2+2(a-1)x+a^2=0x^2+2ax+a^2-a-1=0,若这两个方程至少有一个方程有实数解,那么a的取值范围是(      )

A.全体实数       B.0<a<1      C.a>3       D. a<-1或a >3

本题宜从反面考虑问题,“两个方程至少有一个方程有实数解”的反面是“两个方程没有实数解”,∴只要考虑两个△都小于0即可,求出取值范围,再求这个范围的反面。

例27(排除法)    如图,把正方形分成四块全等的直角三角形,再拼成四边形(非正方形),下列语句正确的是(  )
A、能拼出6种不同的平行四边形
B、菱形是拼不成的
C、可以拼出2种不同的矩形
D、只能拼出1种等腰梯形

csfx-32

如果直接考虑A选项,因为情况太多会遇到麻烦。而排除B,C,D会容易些。

7、讲解重在展示思考过程,暴露学生思维瓶颈。解题留余地,如反思、拓展、归纳、应用,也就是现场说题。不是每道题都需要这样做,这需要敏锐的洞察力。

四、特别要讲的内容

1、非等可能事件

例28  木杆上挂了3个气球ABC,下面的气球不拿掉,上面的气球不能拿,有3人甲乙丙依次随机拿气球,一人拿一个,丙能拿到B的概率是多少?

csfx-33

解题时要注意将非等可能事件转化为等可能事件,图1的树状图是错误的,图2的树状图的对的。

csfx-34

 2、简便运算

乘初三复习机会,让学生的运算能力得以提高,运算能力以简便运算最为重要,而简便运算以约分和提取最为重要。

例9  计算(1)(\sqrt{3}+2)x=4\sqrt{3}+6

(2)\sqrt{340^2-160^2}.

第1题约掉\sqrt{3}+2,第2题提取20的平方。

五、关于《甬真集》

今年我作为主编,对甬真集的修改力度是很大的,本来这本初三复习用书已经在宁波有着良好的信誉,现在改编后又增加了许许多多新题,让复习用书耳目一新,质量更上一层楼。

csfx-35

同时,精品课件使老师上课更加方便,PPT课件对原书进行重现,而几何画板课件则是对动态题进行了动态的演示。

采用《甬真集》进行初三数学总复习,我的建议是:

1、让学生先自学,并完成|考点聚焦|内的填空,和|基础温故|,有能力的学生最好完成|分类精析|;

2、上课时讲解|分类精析|和部分|即时巩固|,来不及讲解的不要怜惜,有的是题目,题目永远讲不完的;

3、作业应该分层,学困生只做A组题,中等生做A,B两组,优等生做A,B,C三组,或B,C两组

4、作业不要每道讲解,没时间的,以个别辅导为主,上课时只讲解作业中1到2个问题就够了(注意不是整道题哦);

5、强化训练一个单元一次,还是要坚持的;

6、最后出版社还会组织力量举行高质量、高仿真的中考模拟3次,这个千万别放弃,难得的,要知道区教研室最多只能组织1次哦。

 

《初三数学总复习开始了》有2个想法

  1. 黄老师,这次甬真重高是你编的呀?我看了好几遍,感觉变化比较大。
    我的QQ是874838642,希望能和你交流!~~~
    一位年轻的同行

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注