△在解决数学问题中的作用

△指的是一个二次三项式[latex]ax^2+bx+c[/latex]中[latex]b^2-4ac[/latex]的值,这个代数式有着广泛的应用。

1、判别一元二次方程根的情况

2、判别二次三项式是不是完全平方式

3、判别二次三项式在实数范围内是不是可以分解因式

4、判别二次函数与x轴公共点的个数

5、判别一元二次不等式解的情况

6、判别二次三项式的符号

7、求分式的最值

具体说明如下。

1、判别一元二次方程根的情况

关于x的方程[latex]ax^2+bx+c=0[/latex],当[latex]b^2-4ac>0[/latex]时有两个不等实根,当[latex]b^2-4ac=0[/latex]时有两个相等实根,当[latex]b^2-4ac<0[/latex]时无实根。

例1  判别关于x的一元二次方程[latex]x^2-(a-1)x+a-2=0[/latex]根的情况是(    )

A.有两个不等实根          B.有两个相等实根

C.有两个实根               D.无实根

解:△=[latex](a-1)^2-4(a-2)=a^2-6a+9=(a-3)^2\ge{0}[/latex]

故选C.

2、判别二次三项式是不是完全平方式

关于x的二次三项式[latex]ax^2+bx+c[/latex],当[latex]b^2-4ac=0[/latex]时,它可以写成一个一次式的平方,即[latex]ax^2+bx+c=(mx+n)^2[/latex]

例2  已知关于x的二次三项式[latex]x^2-(a-1)x+a+7[/latex]是一个多项式的平方,求a的值。

解:△=[latex](a-1)^2-4(a+7)=a^2-6a-27=(a+3)(a-9)=0[/latex]

故a=-3或a=9.

3、判别二次三项式在实数范围内是不是可以分解因式

关于x的二次三项式[latex]ax^2+bx+c[/latex],当[latex]b^2-4ac>0[/latex]或[latex]b^2-4ac=0[/latex]时,它可以在实数范围内分解因式。

4、判别二次函数与x轴公共点的个数

关于x的二次函数[latex]y=ax^2+bx+c[/latex],当[latex]b^2-4ac>0[/latex]时抛物线与x轴有两个公共点,当[latex]b^2-4ac=0[/latex]时只有一个公共点,当[latex]b^2-4ac<0[/latex]时无公共点。

5、判别一元二次不等式解的情况

关于x的一元二次不等式[latex]ax^2+bx+c>0(a>0)[/latex],当[latex]b^2-4ac<0[/latex]时解为全体实数,当[latex]b^2-4ac=0[/latex]时解为除去一个数的其它实数,当[latex]b^2-4ac>0[/latex]时解为两个范围。等等。

6、判别二次三项式的符号

关于x的二次三项式[latex]ax^2+bx+c[/latex],当[latex]b^2-4ac<0[/latex]时,它的值为正(a>0)或负(a<0),当[latex]b^2-4ac>0[/latex]时,它的值正负均可能。

7、求分式的最值

例3  求分式[latex]\dfrac{a^2+a+1}{a^2}[/latex]的最小值。

解:设[latex]\dfrac{a^2+a+1}{a^2}=x[/latex],

则[latex](1-x)a^2+a+1=0[/latex],△=1-4(1-x)=4x-3≥0,x≥[latex]\frac{3}{4}[/latex]

即分式[latex]\dfrac{a^2+a+1}{a^2}[/latex]的最小值为[latex]\frac{3}{4}[/latex]。

例4   已知a、b为正数,a<b,求代数式[latex]\frac{4a^2+4ab+b^2}{4a(b-a)}[/latex]的最小值。

解:设[latex]\frac{4a^2+4ab+b^2}{4a(b-a)}=k[/latex],则[latex]4a^2(1+k)+4a(b-bk)+b^2=0[/latex],

∵a、b为正数,∴上述方程有实数根,即△≥0,

△=[latex]16b^2(1-k)^2-16b^2(1+k)=16b^2(k^2-3k)[/latex]≥0,

解得k≥3,∴代数式[latex]\frac{4a^2+4ab+b^2}{4a(b-a)}[/latex]的最小值是3。

总之,“四个二次”(即二次三项式、二次方程、二次不等式、二次函数)的许多问题都与△有关,掌握好这个方法极为重要。

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