△指的是一个二次三项式ax^2+bx+c中b^2-4ac的值，这个代数式有着广泛的应用。
1、判别一元二次方程根的情况
2、判别二次三项式是不是完全平方式
3、判别二次三项式在实数范围内是不是可以分解因式
4、判别二次函数与x轴公共点的个数
5、判别一元二次不等式解的情况
6、判别二次三项式的符号
7、求分式的最值
具体说明如下。
1、判别一元二次方程根的情况
关于x的方程ax^2+bx+c=0，当b^2-4ac>0时有两个不等实根，当b^2-4ac=0时有两个相等实根，当b^2-4ac<0时无实根。
例1 判别关于x的一元二次方程x^2-(a-1)x+a-2=0根的情况是（ ）
A.有两个不等实根 B.有两个相等实根
C.有两个实根 D.无实根
解：△=(a-1)^2-4(a-2)=a^2-6a+9=(a-3)^2\ge{0}
故选C.
2、判别二次三项式是不是完全平方式
关于x的二次三项式ax^2+bx+c，当b^2-4ac=0时，它可以写成一个一次式的平方，即ax^2+bx+c=(mx+n)^2
例2 已知关于x的二次三项式x^2-(a-1)x+a+7是一个多项式的平方，求a的值。
解：△=(a-1)^2-4(a+7)=a^2-6a-27=(a+3)(a-9)=0
故a=-3或a=9.
3、判别二次三项式在实数范围内是不是可以分解因式
关于x的二次三项式ax^2+bx+c，当b^2-4ac>0或b^2-4ac=0时，它可以在实数范围内分解因式。
4、判别二次函数与x轴公共点的个数
关于x的二次函数y=ax^2+bx+c，当b^2-4ac>0时抛物线与x轴有两个公共点，当b^2-4ac=0时只有一个公共点，当b^2-4ac<0时无公共点。
5、判别一元二次不等式解的情况
关于x的一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，当b^2-4ac<0时解为全体实数，当b^2-4ac=0时解为除去一个数的其它实数，当b^2-4ac>0时解为两个范围。等等。
6、判别二次三项式的符号
关于x的二次三项式ax^2+bx+c，当b^2-4ac<0时，它的值为正（a>0）或负（a<0），当b^2-4ac>0时，它的值正负均可能。
7、求分式的最值
例3 求分式\dfrac{a^2+a+1}{a^2}的最小值。
解：设\dfrac{a^2+a+1}{a^2}=x，
则(1-x)a^2+a+1=0，△=1-4(1-x)=4x-3≥0，x≥\frac{3}{4}
即分式\dfrac{a^2+a+1}{a^2}的最小值为\frac{3}{4}。
例4 已知a、b为正数，a<b，求代数式\frac{4a^2+4ab+b^2}{4a(b-a)}的最小值。
解：设\frac{4a^2+4ab+b^2}{4a(b-a)}=k，则4a^2(1+k)+4a(b-bk)+b^2=0,
∵a、b为正数，∴上述方程有实数根，即△≥0，
△=16b^2(1-k)^2-16b^2(1+k)=16b^2(k^2-3k)≥0,
解得k≥3，∴代数式\frac{4a^2+4ab+b^2}{4a(b-a)}的最小值是3。
总之，“四个二次”（即二次三项式、二次方程、二次不等式、二次函数）的许多问题都与△有关，掌握好这个方法极为重要。