学生妙解数学题2

10、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D在BC上，沿AD折叠使C落在AB上的E处，求DE的长。 

 

 

2011届初二王峥嵘的解法： 

设CD=DE=x，由面积关系得\frac{1}{2}\times6x+\frac{1}{2}\times10x=\frac{1}{2}\times6\times8， 

解得：x=3. 

11、已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，则下列代数式……，a+b中，其值为负数的有                个。

2011届初三6班桑晨的解法： 

a+b=(a+b+c)-c=f(1)-f(0)，从图象中可见，x=1的函数值比x=0时函数值大，所以a+b>0. 

12、如图，已知D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE∥BC，AB=4，AC=3，BC=5。当△ADE的周长与四边形DBCE的周长相等时，求DE的长。

2011届初三2班范家琦的解法： 

设DE=x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴\frac{C_{\triangle{ADE}}}{C_{\triangle{ABC}}}=\frac{x}{5}，即C_{\triangle{ADE}}=\frac{12}{5}x，∵△ADE的周长+四边形DBCE的周长=△ABC的周长+2DE，∴2\times\frac{12}{5}x=12+2x，解得x=\frac{30}{7}. 

13、如图，两个观察者从A、B两地观察空中C处一个气球，分别测得仰角为45°和60°，已知A、B两地相距100m，当气球沿与AB平行的路线飘移20秒至C’，在A处测得气球的仰角为30°。求：

（1）气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）；

（2）在B处观察点C’的仰角（精确到1’）。

 

2011届初三2班李景的解法： 

（1）由已知，∠1=∠2=15°，所以AE=CE， 

又∠EAB=∠ECF=30°及对顶角相等，∴△EAB≌△ECF，∴CF=AB=100， 

∵\angle{FC{^\prime}C}=30°，\angle{C{^\prime}CF}=90°，∴CC{^\prime}=\sqrt{3}CF=100\sqrt{3}， 

∴移动速度v=\frac{100\sqrt{3}}{20}≈8.66(m/s)。 

（2）∵∠AEB=∠CBD-∠EAB=60°-30°=30°，∴BE=AB=100， 

∵AB:BE:AE=1:1:\sqrt{3}， 

∴AE=CE=100\sqrt{3}， 

CB=BE+EC=100+100\sqrt{3}， 

∴BD=50+50\sqrt{3}， 

BD{^\prime}=50+50\sqrt{3}+100\sqrt{3}=50+150\sqrt{3}， 

C{^\prime}D{^\prime}=CD=\sqrt{3}(50+50\sqrt{3})=50\sqrt{3}+150， 

∴\angle{C{^\prime}BD{^\prime}}=tan^{-1}\frac{50\sqrt{3}+150}{50+150\sqrt{3}}≈37°22’。 

14、将1至9这九个数字填入3×3的九宫格，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。问最中间的数字是什么？为什么？

1011届六年级许紫欣的解法： 

 

∵三个横行的和=1+2+3+……+9=45，∴每个和=45÷3=15， 

如图，设中间数为a，那么上图4条线的4个和等于将1到9加遍后又多加了3个a， 

所以有：4×15=45+3a，a=5. 

15、如图，抛物线y=2x^2-\frac{5}{2}x+a与x轴正半轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴正半轴交于C，且∠OCA=∠OBC，则B点坐标是          （     ）

A、（\frac{1}{4}，0）   B、（4，0）    C、（1，0）  D、（3\sqrt{3}，0）

 

2011届初三6班桑晨的解法： 

此抛物线的对称轴是直线x=\frac{5}{8}，如图，利用对称性知，B点的横坐标介于\frac{5}{8}和\frac{5}{4}之间，只有C符合。 

16、一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来，前两个月的利润情况如图所示，该图可以近似地看作抛物线的一部分，其中第x月的利润为y万元，往后y与x满足的关系不变.请结合图象解答下列问题：

（1）求抛物线对应的二次函数解析式；

（2）该公司在经营此款电脑的过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？

（3）公司打算，从月利润下降开始，若后一个月与前一个月利润之差超过11万元，就停止销售该产品，请你预测该产品持续销售的时间.

 

2011届初三6班桑晨的解法： 

（1）y=-x^2+14x；

（2）当x=7时最大利润为49万元；

（3）如上右图，根据抛物线的对称性可知，第12月到13月利润刚好下降11万元，所以持续销售时间是13个月。

17、如图正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，若AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形的面积等于 （    ）A、 \frac{225}{16}    B、 \frac{256}{15}    C、\frac{256}{17}    D、\frac{289}{16}

2011届初三三位同学的解法

张天行：由△ABE∽△EFC，得\frac{AB}{CE}=\frac{AE}{EF}=\frac{4}{3}，设AB=x，∴EC=\frac{3}{4}x，∴BE=\frac{1}{4}x，则x^2+(\frac{1}{4}x)^2=4^2，解得x^2=\frac{256}{17}，即为正方形的面积。

桑晨：由△ABE∽△EFC，得\frac{AB}{CE}=\frac{AE}{EF}=\frac{4}{3}，设AB=x，∴EC=\frac{3}{4}x，而BE=\sqrt{4^2-x^2}，由BE+EC=AB得\sqrt{4^2-x^2}+\frac{3}{4}x=x，也解得x^2=\frac{256}{17}，即为正方形的面积。

王嘉宁：设BE=a，EC=b，则AB=a+b，于是\left\{\begin{matrix} \frac{a+b}{b}=\frac{4}{3}\\(a+b)^2+a^2=4^2\end{matrix}\right.

由①得b=3a，代入②得a^2=\frac{16}{17}，再代入②得(a+b)^2=\frac{256}{17}，即为正方形的面积。

18、如图，C、D是以AB为直径的半圆O上两点，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，DG⊥OC于G，求证：CE=GF。

2011届初三王宁的解法：

如图连OD，分别以CO、DO为直径作辅助圆，可以证明圆过E和G,F，

容易证明∠COE=∠GDF，又因为这两个圆是等圆，所以CE=GF。

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