学生妙解数学题4

前面已经有很多学生妙解的例子了（共23题），具体的见：

自从我留心学生巧妙的解法，财富有了明显的积累，累累硕果被永久保存。当我向同行展示这些妙解时，无不为之震撼—-学生太聪明了，老师弯腰了。

例24 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵若 $\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$ ，求 $\frac{AF}{DF}$ 的值。

对于第（2）题有2个同学提供了自己的解法。

2011届初三6班桑晨的解法：

如图，连BC和OD，设AC=3，AB=5，则易证四边形ECGD是矩形，易算GD=1，故AE=4，由△AEF∽△DOF得 $\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{OD}=\frac{4}{2.5}=\frac{8}{5}$ .

2011届初三蒋晨微的解法：

如图，连OD，作弦心距OH，先证明EH=OD，算出AE=4，其余与上法相同.

例25 已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线O-A-B-D的路线移动，移动的时间为t秒．设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围.

学生有4种不同的方法.

方法1：作PQ⊥AB于Q.

$S=S_{OABC}-S_{\triangle{OCD}}-S_{\triangle{BPQ}}-S_{PQAO}$ .

方法2：过P、D作y轴的垂线段，垂足为E、F，

$S=S_{\triangle{OPC}}-S_{\triangle{ODC}}$ .

方法3：作OH⊥CB，垂足为H，

$S=\frac{1}{2}PD\times{OH}$ .

方法4（由1011届刘泽汉提供）：由方法3可知，S是t的一次函数，设为y=kx+b，

当P与B重合时，容易算出此时t=18,S=8，当P与D重合时，容易算出此时t=23,S=0，将这两对对应值代入后，用待定系数法即可。

例26 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，求证： $S_{\triangle{AOD}}+S_{\triangle{BOE}}+S_{\triangle{COF}}=\frac{1}{2}S_{\triangle{ABC}}$ 。

2011届初三李嘉毅解法：

如图，过O点作三边的平行线，则图中出现6对面积相等的三角形，故原来黄色三角形面积=白色三角形面积。

例27 如图O是等腰梯形ABCD的上底AD上一点，OE垂直BC，求证：阴影部分的面积是梯形面积的一半。

2011届初三李嘉毅解法：

如图，补上两个直角三角形，得到一个矩形，设其面积为S。

则有 $m+n+b=\frac{1}{2}S$ ，即 $m+n=\frac{1}{2}(S-2b)$ ，

也即，阴影部分的面积是梯形面积的一半。

例28 如图矩形OABC，O为坐标原点，A在x轴上，C的y轴上，B点坐标为（9,6），D在BC上，沿OD将△OCD折叠，C落在E。根据下列条件求出D点的坐标。

（1）E在AC上；（2）E在直线y=2x-6上。

2011届2班褚晓莹的解法：

（1）由C,E关于OD对称，得OD⊥AC，∴△OCD∽△CBA，∴CD=6÷9×6=4，∴D（4,6）.

（2）易知F（0，-6），G（6,6），故OC=OF=OE，∠OEF=∠OFE，

∵∠OEF+∠DEG=90°，∠OFE+∠DGE=90°，∴∠DEG=∠DGE，∴DE=DG=DC，∴CD=3，∴D（3,6）.

例29 如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别边上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，则△PEF和△PGH的面积和等于。

2011届2班黄沁雨的解答：

用矩形面积减去四个直角三角形的面积，算出黄色部分的平行四边形面积为11，而△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形的一半，所以答案是5.5

例30 （重庆2010年）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合.如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是______千克。

2011届2班王宁静的解答：

设倒出的质量为xkg，则得 $\dfrac{x}{60-x}=\dfrac{40-x}{x}$ ，

解得：x=24.

（在这里， $\dfrac{x}{60-x}$ 和 $\dfrac{40-x}{x}$ 都表示A饮料和B饮料的质量比，如不管原来A饮料和B饮料的浓度如何，A饮料取1kg、B饮料取2kg混合与A饮料取3kg、B饮料取6kg混合所得的饮料浓度相同）

例31 某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销，就购进了8万元这种衬衫，面市后果然供不应求。于是商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批的2倍，但每件单价贵了4元。商厦销售这种衬衫的单价为58元，最后剩下150件按8折销售，很快售完。商厦第二批进的衬衫多少件？

1308班（初一）姜楠忆的解法：

假如第一批买了16万元，则数量和第二批相等，这样一共贵了17.6-2×8=1.6万元，因为每件贵了4元，所以第二批的件数是1.6÷4=0.4万件。

说明：这题多数人是用分式方程解的，该生用这么简单的算式就搞定了，不可小视啊。

例32 为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？

1308班（初一）陶心的解法：

“现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。”

这句话说明：乙做规定时间+甲做4月=1

“乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成”

这句话说明：乙做规定时间+乙做6月=1

这说明：甲做4月=乙做6月，所以做同样的工作量，甲时间:乙时间=4:6=2:3

又因为：乙做规定时间+乙做6月=1=甲做规定时间

所以做同样的工作量甲乙时间相差6月，故单位时间=6÷(3-2)=6（月）

规定时间=甲做的时间=6×2=12（月）