初中数学命题原则

作为一个教师,命题是一个必不可少的基本功。为此,宁波市江东区举行了首届解题和命题系列比赛,内容有解题比赛、非现场命题比赛、现场命题比赛和说题比赛。新颖的试题、别出心裁的试卷、众多的参赛老师、良好的效果是整个宁波市前所未有的。在最后的一次系列活动中,我作为评委点评了参赛老师命题的质量,虽然有很多高质量的命题诞生,但也不乏出现一些命题中常见的问题。这里我着重讲讲初中数学命题编制要注意的问题。我们有必要先明白数学命题的原则,以下10条原则是我自己归纳的,可以作为我的经验,是我的一面之词。

数学命题的原则:

  1. 科学性(条件和结论不违反基本数学原理)
  2. 明确性(叙述、概念、含义、图形清楚明白)
  3. 确切性(切忌叙述不确切,用词不当)
  4. 实际性(符合生活实际情形)
  5. 合理性(难易合理,梯度合理,结构合理)
  6. 简洁性(叙述简洁,运算简便,思路简捷,解题书写方便,批阅方便)
  7. 新颖性(尤其是压轴题,不要是陈题,要体现新理念、新内容、新要求)
  8. 适应性(不超范围、不用已被淘汰的题)
  9. 公平性(所出的题不能让一些人占便宜,另一些人吃亏)
  10. 公认性(题目不能有歧义,要考虑公众的认识) 

现在,包括教材、作业本和各种教辅材料在内的数学题中,有大量题违反了上述原则,甚至中考试题也不能幸免。下面结合具体实例,看看怎样的命题是违反数学命题的原则的,怎样的命题是遵循数学命题的原则的。

1、科学性

违反了科学性就是假命题、错题,是不能解的题,有些老师编题时因考虑不周,导致题目条件不够或互相矛盾。

例1    一元一次不等式组\left\{\begin{matrix} 2x+1<0\\ x-2>0 \end{matrix}\right.的解在数轴上表示正确的是( )

点评:这个不等式组是无解的,但4个选项哪一个表示无解呢?A吗?但A也可以表示x<-\frac{1}{2}x>2

例2    已知一个样本的方差S^2=\frac{1}{n}[(x_1-25)^2+(x_2-25)^2+\cdot\cdot\cdot+(x_n-25)^2],则这个样本的平均数为___________.

点评:出题者的本意是让学生掌握方差公式,且不说方差公式还要不要记住,这里要写出平均数关键是要已知样本的数据是什么,如果样本的数据是x_1-1x_2-1\cdot\cdot\cdotx_n-1的话,平均数就是24,而不是25了。

例3    如图1,将4×4正方形网格中的四块拼成一个非正方形的矩形。

 点评:这题是无法拼成一个非正方形的矩形,命题者可能是受09年安徽中考题的启发,想把原题改变成网格中的问题,结果犯了错。

 附09年安徽中考题

20. 如图2,将正方形沿图中虚线(其中xy)剪成①②③④四块图形,用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形).(1)画出拼成的矩形的简图; (2)求\frac{x}{y}的值.

今天又发现了一道来自于某地《09年初中数学竞赛选拔模拟试卷》的题,有严重的科学性错误,特补上。

补例  如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,D、E、F分别在三条边上,求△DEF周长的最小值。

答案中的解法是:先固定D,作D的对称点D’和D”,则D’D”与AB、BC的交点即为E、F的位置,∵D’D”=2E’F’,E’F’=CD,∴最小值就是CD成为AB上的高,此时E’F’=CD=4.8,∴△DEF周长的最小值=D’D”=2E’F’=2CD=9.6。

你能发现上述解题中的错误吗?错误就在“D’D”与AB、BC的交点即为E、F的位置”这句话,因为D’D”始终过C点的。达到最小值时,△DEF是不存在的。

2、明确性

命题的语言叙述、概念、含义、图形清楚明白,不能模棱两可,这是对命题的一个最基本要求。但是许多老师命题时没有再三推敲,使得命题的题意不清,理解困难,甚至无法解题。

例4    某宾馆底层客房比二楼少5间,某旅游团有48人,若全安排住底层,每间住4人,房间不够;每间住5人,有房间没住满5人。又若全安排住二楼,每间住3人,房间不够;每间住4人,有房间没住满4人。问该宾馆底层有客房多少间?

点评:“有房间没住满5人”、“有房间没住满4人”这样的话是不明确的,可以理解成是一间没住满,也可以理解成是多间没住满。

例5    下列所采用的调查方法合理吗?为什么?   2、在公园里调查老年人的健康状况;

点评:原题一共有3道小题,这里只给出第2小题。在公园里调查老年人的健康状况是否合理,这要看你调查的是怎样的老人,如果是经常锻炼的老人也许是合理的,如果是一般的老人就不合理了。

例6    水平地面上放着1个球和1个圆柱体,摆放方式如右图所示,其左视图是(    )

点评:这里不明确的地方就是主视方向没给出,左视图的可能性就多了。 再仔细一看,按常规理解主视方向,没有一个选项是对的。

例7    某电信公司推出了A、B 两种手机通话套餐,如图表示通话费用y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系。观察图象解决下列问题。


(下面列举的问题都是从江东区首届命题系列比赛中收集到的)

1、求y_B与t的函数关系。(超纲)

2、小明选A,小丽选B,通话时间是小丽少,试确定两人可能通话的时间。(没有说明时间一样)

3、小明选A,小丽选B,通话时间相同,通话费相差10元,求t和相应的话费。(答案有4个太多)

4、你帮小明全面分析,如何选择套餐类型更经济(不明确)

5、小明选A,小丽选B,小明比小丽多10元,求通话时间各多少?(不明确)

6、通话费有几次相同。(不明确)

7、小明、小丽分别用A、B,发现某天话费相同,他们通话时间可能是多少?(不明确)

8、甲乙两人各选A、B,7、8月份话费相同,分别是7月40元,8月35元,有趣的是他们两人2个月通话总时间相同,请你通过计算证明。(不知道在讲什么)

点评:我将上面8个问题修改如下:

1、当t>300时,求y_B与t的函数关系。

2、小明选A,小丽选B,通话时间一样且是小丽少,试确定每人可能的通话时间。

3、小明选A,小丽选B,通话时间相同,通话费是小明多10元,求t和相应的话费。

4、通话时间在什么范围内选择A套餐更经济?通话时间在什么范围内选择B套餐更经济?

5、同3

6、在通话费相同的情况下,两种套餐通话费有几次相同?对应的通话时间是多少?

7、同6

8、甲乙两人各选A、B,某月话费分别是40元、35元,有趣的是他们两人通话总时间相同,请你通过计算说明为什么?

例8    在菱形ABCD的两条对角线上分别排列m、n个棋子(m、n都是奇数),甲乙两人轮流拿一个或相邻的若干个棋子,谁先拿到最后一块,谁获胜。如果甲先拿,请问:甲是否有必胜的策略?

点评:题意不明确,请看答案:有。甲只要把其中一条对角线上的棋子全部拿完,使得另一条对角线上的棋子被分开。接着,乙拿任意几颗,甲就拿任意几颗,由于对称性,最后拿到的肯定是甲。 意图:检查学生对菱形的对称性理解。

其实我们完全可以如图这要摆放,当一条对角线上的点一次拿掉后,另一条对角线上的点并没有被隔开。

例9    居民生活到户水价由现行每立方米2.20元调整到3.30元。为确保调价方案顺利实施,决定分两步实施:第一步,拟从2009年9月1日(用水时间)起执行;第二步,拟从2010年7月1日(用水时间)起执行.

 (1)如果要求每一步的增长率相同,那么这两步调整水价的平均增长率是多少?(精确到0.01)

 (2)设第一步到户水价从现行每立方米2.20元调整到每立方米x元,以三口之家为例,2008年平均每月用水量为11.21立方米,则按此方案调整水价后,在月平均用水量不变的情况下,求三口之家2010年底比2008年底增加的水费y与x的关系.

点评:此题有几处不明确:(1)编题时间是2010年4月,那么“现行”应该指这个时候了,这是介于两次调整之间的,时间上有点混。(2)3.30元是第几步调整的结果?(3)“三口之家2010年底比2008年底增加的水费”指一年的,二年的,还是一月的?

3、确切性

用词不当、含义不清、语言不规范是命题之大忌。有失确切性的命题也可以认为有科学性的错误。

例10    (2003年湖北省宜昌市)函数y = kx + 1与函数y=\frac{k}{x}在同一坐标系中的大致图象是( )

点评:什么叫做“大致”?就是大概、基本的意思,而这里的两个函数图象有两种可能,所以不能说“大致”,可以改为“可能”。

例11    对于任意正整数n,(4n+5)^2-9一定可以被整数a整除,则a的值是 (   )

A、2             B、4              C、8             D、16

点评:原式=(4n+8)(4n+2)=8(n+2)(2n+1),可见一定被8整除,也就一定被2、4整除,这样A、B、C都对了。如果改成“a的最大值是”,答案就惟一了。

例12    如图,坐标系中有A,B,C三点,(1)找点D,使四边形ABCD为中心对称图形,写出所有可能的点。(2)找点E,使四边形ABCE为轴对称图形,写出所有可能的点。

点评:本题语言很不规范,(1)中四边形ABCD惟一的,(2)中四边形ABCE是没有的,于是也就谈不上“所有”了。还有“写出所有可能的点”这句话不规范,点只能“画出”,不是“写出”,能写出是点的坐标。其实四边形的字母不要连起来就好了,最好用“、”将字母分开。

4、实际性

新课标的一个理念是人人学有用的数学,也就是数学要联系生活实际。结果编写的教材,新课引入都要与生活实际相联系,大量的与实际问题有关的题涌现,这当然是好事。但是,许多所谓的实际问题一点也不实际,完全是为了编题而凭空杜撰。也只能说明某些编题者缺乏生活常识。

例13    下面让我们探究生活中有关粉刷墙壁时,刷具扫过面积的问题。某工人用的刷具形状是圆形(如图3),直径CD=20cm,点O、C、D在同一直线上,OC=30cm,他把刷具绕O点旋转90°,则刷具扫过的面积是           cm^2

点评:生活中谁见过这样的刷具?没有的!杜撰的。我也曾编过类似一题。

例14    如图4是粉刷墙面用的涂料滚筒(尺寸如图,单位厘米),那么这个滚筒滚一周墙面被粉刷过的面积是          (精确到0.1cm_2)。

例15    如图5两条宽度都是5的交叉公路,它们的夹角为α ,则两条公路重叠部分(阴影部分)的面积是   (     )

A、\frac{25}{sin\alpha}      B、\frac{25}{cos\alpha}      C、5sin\alpha      D、\frac{5}{tan\alpha}

点评:交叉道路是不会有尖角的,而是圆弧形的,这应该是基本常识吧。

5、合理性

难易合理,梯度合理,结构合理是命题又一个原则。一道题若有几个小题,一般要求由易到难、互相关联。

例16  如图,分别以B(1,0),A(0,-\sqrt{3})为圆心,1和-\sqrt{3}为半径作圆与坐标轴交于E和F两点。(1)写出点E和F的坐标,一个一次函数的图象经过E、F两点,求这个一次函数的解析式。(2)求两圆交点C的坐标,并检验一下C点是否在直线EF上。(3)过点C分别作⊙A、⊙B的 切线,证明此两切线互相垂直。

点评:本题在结构上存在问题,我们完全可以先解第②小题,连结OC、EC、FC,可证E、C、F三点共线。也可以先证第③小题,即证BC⊥AC。也就是说,3个小题是彼此独立的。

6、简洁性

叙述简洁——不要让题目的文字篇幅过长。

运算简便——繁琐的运算、复杂的数据应摒弃。

思路简捷——灵活、意想不到的思路是提倡的,但不等于繁琐复杂的思路。

书写方便——便于学生书写、陈述

批阅方便——老师最头痛批阅试卷时像看作文一样冗长,像看天书一样费劲。

例17  陕西省2006中考数学试题24题(题目太长,略)

点评:整道题目占了半页纸,有文字,有表格,有附加说明。一般人是没有耐心看的。

例18   宁波虽是坐拥三江、东临大海的江南水乡,却是水资源短缺的城市之一,节约用水势在必行。供水部门的专家称“阶梯式水价”就是将用户每月确定一个基本用水量,在这个范围内,按普通水价计算,而用水量超过这个额度,水价将上浮,超得越多,水价越高。据介绍,“阶梯式水价”其实就是运用价格杠杆实现节水,是建立节水型社会,实现水资源可持续发展的需要,也是提升供水服务的有效途径,这样可为居民构筑以“分户计量、分级计价、服务入户”为核心的新型供水服务体系。居民生活用水按阶梯式水价计量。规定以三口之家为基准,将居民的每月生活用水水价分为三个等级:一级17立方米及以下,二级18——30立方米,三级31立方米级以上。

由于宁波供水成本很高,水价和成本明显倒挂,企业经营困难,经过各方研究决定调整水价。调整后的到户水价将分两步实施,第一步已于2009年12月1日开始实施;第二步将于2010年7月1日起执行,在现有水价的基础上再上调16﹪。小虎家(三口之家)2010年1月份和2月份的水费发票

点评:其一,废话太多,废话占了题目的一半文字。其二,发票看不懂,这种发票很专业,计费方法与我们通常的理解不一样,尽管最后我是看懂了,也能解这道题,但学生如何看得懂?正好像就医时医保发票里写着的“个人自付、个人自负、个人自费、个人承担”谁都不知道是什么东西。

例19    如图为小强所在学校的平面示意图,请建立适当的平面直角坐标系,并写出各地点的坐标.

点评:坐标系自己选,答案就多了,阅卷会很麻烦。

7、新颖性

尤其是压轴题,不要是陈题,要体现新理念、新内容、新要求。题型要新,考同一个知识点,可以是计算题,可以是证明题,可以是作图题,可以是画图题,可以是叙述题等等。

下面展示几题较有新意的命题,供大家参考。

例20  设代数式\frac{1}{x-2}+3的值为m,代数式\frac{1-x}{2-x}的值为n,对x取不同的几个特殊值,m、n的取值如下表:

x 0.5 1.5 2.5 3.5
m \frac{7}{3} 1 5 \frac{11}{3}
n \frac{1}{3} -1 3 \frac{5}{3}

对结论①不论x取何值m总比n大2;②存在这样的x,使m=n。判断正确的是(   )

A、①对②对        B、①对②错        C、①错②对        D、①错②错

点评:如果题目出成解分式方程、分式运算,就没有新意了。

例21  给出4个整式2,x-2,x+2,2x+1,

①取其中2个整式,写出一个分式;②取其中2个整式进行运算,使运算结果为二次三项式。请你列出一个算式,并写出运算过程。

点评:考查的是分式的概念和整式的运算,但出题的形式让人眼睛一亮。

例22    在实数范围内已知代数式x^2-4x+8的值为a。 ①当x为何值时,a=5? ②a的值能否小于4?为什么?

点评:二次函数、一元二次方程的题可以合起来这样出题,不能不说是有创意的。

例23    如图,⊙A的直径为8、⊙B的直径为6,⊙A的直径CD⊥AB,点B在过点A的直线m上移动,设AB=d,当⊙B运动到和⊙A、CD都相交时,d的取值范围是          .

点评:直线和圆、圆和圆的位置关系可以这样出题,你想到了吗?

例24  三个全等的直角梯形①、②、③在平面直角坐标系中的位置如图,抛物线y=ax^2+bx+c经过顶点A、B、C、D,已知梯形的两条底边长分别是4,6.(1)求梯形的两腰长;(2)求抛物线的解析式。

点评:为了考查梯形和抛物线,这位命题高手竟将两种图形进行这样的组合,秒啊,绝啊!不下工夫岂能想到?你欲知道这位高手是谁?就是我们江东区初中数学教研员潘小梅。

例25  如图6,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点P在线段BC上运动,现将纸片折叠,使点A与点P重合,,得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),设BP=x,当点E落在AB上,点F落在D上时,x的取值范围是                                   (    )

A.0<x≤1        B.0<x≤3        C.1≤x≤3       D.3≤x≤5

点评:折纸的题多的是,但这样出题就不多见了,这是运用极端原理的好题,图7是极小端的位置,图8是极大端的位置。

8、适应性

命题要适应当前的内容、要求和习惯,不超范围、不用已被淘汰的题,更不能用已被删去的定理、公式和方法。

例26  (厦门市2006)已知P(m,a)是抛物线y=ax^2上的点,且点P在第一象限.(1)求m的值;(2)直线y=kx+b过点P,交x轴的正半轴于点A,交抛物线于另一点M. ①当b=2a时,∠OPA=90°是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,举出一个反例说明; ②当b=4时,记△MOA的面积为S,求1/S的最大值.

点评:在解最后一个问题时,要求出P、M的横坐标,于是要解方程(a-4)x+4=ax^2ax^2-(a-4)x-4=0(ax+4)(x-1)=0,用十字相乘法解含有字母系数的一元二次方程,是早就不要求的内容。

例27    将一副三角板BDC和ABD如图摆放在一起,连结AC,则tan∠DAC=        

点评:问题还在解题过程,作CE⊥AD于E,设CE=1,则ED=1,CD=\sqrt{2},BD= \sqrt{6},AD=\sqrt{3},AE= \sqrt{3}-1,所以tan∠DAC=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}。你看,分母有理化已经不作要求了。这不是不适应了吗。

例28  如图,在4×6正方形网格中画出与△ABC相似,且为格点三角形的有            个。

点评:不知是哪位老师命的题,他自己做过吗?这数得清楚吗?太多了!光与原图全等的就数得你够受。从以上3例可以看出,命题违背适应性的表现有不适应教学内容,有不适应解题方法,有不适应可操作性。

另外,由于计算器可以代入考场后,能用计算器解决的计算问题都属于不适应的范围。如:计算器按键操作顺序、数的大小比较、实数运算等。

还有,指数出现字母、转化为一元二次方程的分式方程、解决无理数的小数部分等都是被淘汰的考题。

9、公平性

有些题目对一些学生有利,对另一些学生不利,如陈题,没学过的定理可以解决的题,这是不公平的。

例29    (2006年长沙市)如图,已知直线与抛物线交于A、B两点。(1)求A、B两点的坐标;(2)求线段AB的垂直平分线的解析式。

点评:有些老师补充过中点坐标公式和两条直线垂直的充要条件k_1k_2=-1,这样求线段AB的垂直平分线的解析式就特别方便了,这样不是在鼓励老师多补充课外的定理吗?这不是要初中老师教高中内容吗?现在初中老师教高中内容的现象还真普遍,像两点间距离公式、切线方程、定比分点公式,直线多种形式的解析式(两点式、截距式、点斜式、截斜式)等。哦!my god!我倒。

还有好多好多的定理和公式都被删去了,一不小心命题时就会疏漏,就有可能使这些已删去的定理有用武之地。

10、公认性

问题的叙述,概念的表述以及问题的结果都不能有歧义,要考虑公众的认识。也就是不能以为自己的想法可以代替所有人的的想法。

例30    一个十字路口红灯和绿灯交替各亮30秒,红绿灯之间的黄灯亮3秒,你若开汽车经过该路口,能及时通过的概率是           

点评:命题者的意图是在63秒中有30秒时间是绿灯,所以通过的概率是\frac{10}{21}。但事实上,公认的通过概率与车流量有关,如果在较堵的路段通过的概率是很低的。

例31    请你写出3个具有轴对称的汉字          

请看下面的中文字,哪一个是具有轴对称的?公众的认识是有差异的。

例32    我校七年级学生步行到郊外去旅游,(1)班学生组成前队,步行的速度为4千米∕小时,(2)班的学生组成后队,速度为6千米∕小时.前队出发2小时后,后队(2)班才出发,同时后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络,他骑车的速度为12千米∕小时.  试根据以上的事实,提出一个问题并利用列方程的方法解决提出的问题.   你提出的问题是:                       

点评:  解决提出的问题时,是不是所有的条件都要用到?只用到某些条件如何评分?如果只用到某些条件也给满分的话,就没什么意义了。

例33    L1和L2是镜面平行且镜面相对的两面镜子,它们相距7米,把一个小球A放在L1和L2之间,小球A在镜子L1中的像为A1, 小球A在镜子L2中的像为A2,则A1A2=         .

点评:  小球的直径是不是忽略不计?A1、A2是不是小球的球心?不回答这些问题是无法解题的。

例34    (2006衢州)如图9,是一张传说中的“藏宝图”,图上除标明了A、B、C三点的位置以外,并没有直接标出“藏宝”的位置,但图上注有寻找“宝藏”的方法:把直角△ABC补成矩形,使矩形的面积是△ABC的2倍,“宝藏”就在矩形未知的顶点处。请在图中画出宝藏所在的位置,并写出宝藏所在点的坐标。

点评:命题者的答案是图10和图11,可否补成图12?

例35    如图,下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是                        (     )
(宁波江东区某中学的试卷)

点评:答案是B,有歧义!我认为B可以围成五棱柱,只是多了一个侧面,那好啊,多了一个面正好用来粘合,更牢固。

例36      (丽水市2008年)为了加强视力保护意识,小明想在长为3.2米,宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表.在一次课题学习课上,小明向全班同学征集“解决空间过小,如何放置视力表问题”的方案,其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖,构思巧妙.(1)甲生的方案:如图1,将视力表挂在墙和墙的夹角处,被测试人站立在对角线上,问:甲生的设计方案是否可行?请说明理由.

 点评:答案是“可行的”,理由是\sqrt{4.3^2+3.2^2}\approx5.36>5.  但实际上视力表有一定宽度,人体既有宽度又有厚度,如果设视力表宽度为20厘米,人体宽度40厘米,厚度20厘米,那么人眼到视力表的实际距离约为4.86米,小于5米。有歧义了吧!

例37    为筹备班级里的新年晚会,班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查,最终买什么水果,最值得关注的应该是统计调查数据的(       )   

A. 平均数        B. 中位数               C. 众数           D. 方差

点评:这道题的歧义至于你调查的是水果的名称,这不是数,哪来众数?在统计里,这种问题较多,如有人出题说根据方差判断谁的成绩好,试问每次都0分的人最稳定,他的成绩好吗?

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