初中数学题的编制方法（续）

上接“初中数学题的编制方法”

7、根据解题方法编题

想知道自己讲过的解题方法学生掌握了没有，可以编几道题考考。

如学习平行线时，我们多次接触到如下图形。

把它们串到一起编一道题，效果不错。

例26    已知两条线段AB∥CD，点E不在AB、CD所在的直线上。∠ABE=α，∠CDE=β，∠BED=γ。请你就E点的不同位置尽可能多的画出各种图形，写出该图形中α、β、γ的关系，现在解法1已经给出，其余解法只给出α、β、γ的关系，请你在方框内画出每种解法相应的图形。

解法1：如果所画的图形是如图所示的图形的话，那么有γ=α+β

解法2：如果所画的图形是如图所示的图形的话，那么有α+β+γ=360°

 解法3：如果所画的图形是如图所示的图形的话，那么有β=α+γ

解法4：如果所画的图形是如图所示的图形的话，那么有α+β+γ=180°

学习了相似三角形后，我们比较重视有“两个公共”的两个相似三角形，即如图D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠B，那么△ACD∽△ABC。这两个三角形有公共边AC和公共角∠A，所以称为“两个公共”的相似模式，它还有进一步的结论：AC^2=AB\times{AD}（公共边的平方等于同一直线上两边的积），CD:BD=相似比（公共角所对的两边之比等于相似比）。学生对这个方法掌握如何？编题如下：

例27    △ABC中∠ACB=90°，AB=5，D是BA延长线上一点，∠DCA=∠B，DC=6，则tan∠DCA的值等于（   ）

A、\frac{3}{4}    B、\frac{2}{3}    C、\frac{3}{5}    D、\frac{4}{5}

8、为了打破学生定势编题

学生解题往往会受到习惯定势所影响，这里的“习惯定势”指的是受解过的题影响，思维习惯等，也就是禁锢的思维，不够开放、不够发散。

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D在AB上，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，当D从A点向B点移动的过程中矩形DECF的最大值是多少？

本题中矩形DECF的变化情况是：先增大后减小，为了打破学生定势，我编题如下：

例28    如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D在AB上，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，当D从A点向B点移动的过程中，矩形DECF的周长变化情况是 （    ）

 A、逐渐变大       B、逐渐变小      C、先变大后变小      D、先变小后变大。

又有一题，学生都是按常规的方法解的，即先建立以O为原点的坐标系，求出第一象限内的解析式，再求出B的坐标。

如图，某公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图），水流最高点距离水面1.8米，距离柱子水平距离1米。如果不计其它因素，那么为了喷出的水都落在池内，水池的直径至少为  （    ）A、        米    B、       米    C、4米      D、3.8米

为了改变学生这种解题习惯，我编题如下：

例29    小张和小李同做如下一道题：（题目如上）

小张说：“我先建立以O为原点的坐标系，求出第一象限内的解析式，再求出B的坐标。” 小李说：“我不需要建立坐标系，也不求解析式，但我可以看出答案是哪个。” 请你先按照小张的说法写出解题过程， 选出正确答案；再按照小李的说法写 出思考的过程。

9、对已有的题目进行改造

许多数学题做过后可以稍作改变，就成为一道新题，效果不错。

例30  原题：如图，4×5的正方形网格中有一个△ABC，请你在此网格中画出2个三角形与△ABC相似，且彼此都不全等，使它们的顶点都落在小正方形的顶点上。

新题：如图，由边长为1cm的20个小正方形组成的正方形网格中有一个△ABC，请你在此网格中画出四个三角形与△ABC相似，且彼此都不全等，使它们的顶点都落在小正方形的顶点上。

别小看4×5换成2×10只是数据的变化，带来的是方法的变化，必须要从计算入手：

原三角形的边长	\sqrt{2}	2	\sqrt{10}
缩小\sqrt{2}	1	\sqrt{2}	\sqrt{5}
扩大\sqrt{2}	2	2\sqrt{2}	2\sqrt{5}
扩大2	2\sqrt{2}	4	2\sqrt{10}
扩大\sqrt{5}	\sqrt{10}	2\sqrt{5}	5\sqrt{2}
先缩小\sqrt{2}，再扩大\sqrt{5}	\sqrt{5}	\sqrt{10}	5
先缩小\sqrt{2}，再扩大2\sqrt{5}	2\sqrt{5}	2\sqrt{10}	10

计算后可以画出如下6种图形：

 

例31    原题1：如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，求证：四边形EFGH是菱形。

原题2：  如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E、F分别是AD、BC上的点，四边形EBFD是菱形，求菱形的面积。

新题1：如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，从纸片上剪下一个菱形，使它的面积大于矩形的一半。

新题2：  如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6。（1）在图1中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，求菱形EFGH的面积；（2）在图2中画出一个比（1）中的菱形面积更大的菱形；（3）在图3中画出一个比（2）中的菱形面积更大的菱形，并计算所画菱形的面积。

解：（2）剪下一个正方形即可。（3）如原题2这样即可。

例32  原题：  如图甲，等腰直角三角形ABC中,AB=AC=\sqrt{2}cm，P在BC上,以C为圆心、PC为半径画弧交边AC于D，以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E，设PB=xcm，图中阴影部分的面积为ycm（π取3）。（1）求y关于x的函数解析式；（2）写出自变量x的取值范围；（3）当P在什么位置时，y有 最大值？最大值是多少？

新题：  （4）如果我们取消D一定落在三角形边上的条件，也就是说D点可以落在CA的延长线上（如图乙），请问当x为何值时，两个阴影部分的面积相等？（保留两位小数）

例33    原题：将抛物线y=-2x^2+x-1向上平移几个单位,能使抛物线与坐标轴的三个交点构成直角三角形?

新题：将抛物线y=-2x^2-1向上平移几个单位,能使抛物线与坐标轴的三个交点构成直角三角形?

说明：原题的解答要用到抛物线与x轴交点的距离公式AB=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}，已经超出了目前的要求，而新题避免了这个问题。我们设抛物线y=-2x^2-1向上平移后为y=-2x^2+c，与y轴交于（0，c），与x轴交于（c，0），代入得0=-2c^2+c，解得c=\frac{1}{2}，常数项由-1变到\frac{1}{2}向上平移了\frac{3}{2}个单位。

例34    原题：如图，正方形ABCD和正三角形ADE，求∠EBC的度数。

  新题1、如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90度，∠1:∠2=2:1，∠4:∠3=2:1,∠5=∠3.求证：AD=AC.

  新题2、如上题图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D在△ABC内，且AD=AC，∠CAD=30°，则∠DBC的度数是           。

两道新题都采用了“擦图”的手段编题。做题时要“补图”。

例35    原题：如图，正方形ABCD中，E、F在AD、AB上，∠ECF=45°，求证：BF+DE=EF。

新题：如图，梯形ABCE中，AB=BC=12，F在AB上，EF=10，∠ECF=45°，   求BF的长。

编题的方法同例34一样，新题解的方法是设BF=x，则AF=12-x，AE=12-(10-x)=2+x，在△AEF中用勾股定理列方程即可。

10、有新的发现而编题

当你对一些数学问题有自己独特的见解时，你就有了编题的思路，也许一道好题就这样诞生了。

例36  大家一定见过这样的图形，三个等圆里面有一个小圆，我发现这四个圆是两两外切的。于是，就有下面这题：

已知有4个圆两两外切，其中3个圆的半径为6，（1）画出图形；（2）求第4个圆的半径。

例37  我在教三角形全等时，发现“边边角”有个有趣的现象：满足SSA的两个三角形如果不全等，那么这两个三角形的面积就相差一个等腰三角形的面积。

于是一道新题就诞生了：  已知\triangle{ABC}和\triangle{{A^\prime}{B^\prime}{C^\prime}}中，AB={A^\prime}{B^\prime}=8cm，BC={B^\prime}{C^\prime}=5cm，\angle{A}=\angle{A^\prime}=30°, 如果\triangle{ABC}和\triangle{{A^\prime}{B^\prime}{C^\prime}}不全等，则它们的面积之差是             cm^2．

解法是：先画出图形，将两个三角形叠放在一起，作高BD，则可以算出BD=4，CC’=6，所以面积相差4×6÷2=12.

例38  我在用“画图”软件三角形网格时，先画一个三角形，然后进行“复制–粘贴–平移”共5次，一个3×3的三角形网格就形成了。于是就有了下题：

如图是一个由基本图形经过若干次平移后得到的图形，这个基本图形可以是（  　）

答案是C，但很多人想不到啊。

例39  发现一道错题，也许就发现了一道好题。下面的题就是错题改编的：

对于任意正整数n，(4n+5)^2-9一定可以被整数a整除，则a的值是 （      ）     

 A、2         B、4         C、8         D、16   

这是一道有问题的单项选择题，在不改变代数式和选择支的前提下，请你修改本题，使其成为一道无误的单项选择题．

答案：将“a的值是”改为“a的最大值是”。

例40  常见这样的题，已知方程组\left\{\begin{matrix}7x+3y=5\\3x-y=1\end{matrix}\right.，求x+y的值。

我们常用“整体思想”来解，即  (1)-(2)，得4x+4y=4，所以x+y=1．

但是，若要求5x-y的值，整体思想就不好用了，有什么方法还能继续运用整体思想呢？后来我发现了方法。于是一道自己非常满意的代数题诞生了：

有这样一个数学问题： 已知x、y满足\left\{\begin{matrix}7x+3y=5\\3x-y=1\end{matrix}\right.，求x+y的值．我们可以用整体思想来解决这道题，由(1)-(2)，得4x+4y=4，所以x+y=1．现在有一位同学想用同样的方法求5x-y的值，但他想不出上述两个方程如何运算的，请你写出获得运算过程的方法，帮助这位同学得到正确的解答．

平时我一旦有了编题的灵感，就会马上记录先来，现在我的收获颇丰，很多题在重大考试中采用，以上这些题贡献出来和大家分享，但是还有很多题从来没有公开过，就暂时保密了。

请参见我的另一篇博文“初中数学命题原则”。