叶中豪提出了如下几何问题：
如图，H是△ABC的垂心，直线a是任意的一条直线，直线a_1、a_2、a_3是直线a关于BC、AC、AB轴对称直线。三条对称直线围成△DEF。
（1）何时D、E、F共点？实验发现直线a过H时共点。
（2）△DEF的面积由H到a的距离决定。
（3）△DEF的内心P在△ABC的外接圆上。
（4）当直线a位置变化时，△DEF的形状不变。
标签： 难题
几个互逆命题的证明
一、原命题
如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为角平分线，求证：BC=BD+AD.
解：将点A 沿BD反射至BC上的E点，在BC作BF=BD，那么易证DE=DF=CF，
所以BC=BD+AD.
西姆松定理及其退化形式
一、西姆松定理及其证明
1、定理
如图1.1，P是△ABC外接圆上一点，自P向三边所在的直线作垂线，垂足是D,E,F，那么D,E,F三点共线．
2、证明
连PA、PB，∵P、E、B、D及P、D、F、A四点共圆，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠AFP=∠BEP，∠FAP=∠EBP，∴∠2=∠4，
∴∠1=∠3，∴D、E、F三点共线．
一道几何题的多种证明方法
问题：如图1，△ABC中，AB=AC，D,E分别在AB,AC上，且AD=DE=EC=BC，求证：∠A=20°.
解法1：如图2
作∠ACB的角平分线CF，连EF，那么△BCF≌△ECF，设∠A=x°，于是∠B=∠FEC=90-\frac{1}{2}x，
∠DEF=180-x-(90-\frac{1}{2}x)=90-\frac{1}{2}x=∠FEC.
∴△DEF≌△CEF，∴∠BFC=∠EFC=∠EFD=60°，
在△BFC中，∵一个角为60°，另两个角是2倍关系，∴∠B=80°，∴∠A=20°.
数学群问题讨论汇总4
《出众树雪》高手如林，展示的问题难度较高，解法让人叫绝，故拾圣人之遗，以飨读者。前面已经有3篇总汇：
问题30
已知：如图P是△ABD内一点且∠ABP=∠ADP,PE⊥AB于E, PG⊥AD于G，F是BD中点，求证：EF=FG。（流星提供）
数学群问题讨论汇总1
《出众树雪》是一个小小的初中数学群，群号：88730268，2009年创办这个群，旨在群员之间互相研究、讨论、学习。2年多来群内学术气氛浓厚，解题高手辈出，群员数学资料共享。较为突出的是黑马和成都罗老师，他们坚守群的岗位，有问必答，有难必解，受到广大群员的尊敬和崇拜。在群员的建议下，我将群内讨论的数学问题和解题方法收集如下，以飨读者。
问题1
如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E是OD中点，射线AE交圆于F，CF与DB交于G，求证：DG=GB。