抛物线都相似

定义：如果两条形如y=ax^2+bx+c(a\ne0)的抛物线二次项系数相等，那么在不同坐标系中这两条抛物线称为相似抛物线。（坐标系的横、纵坐标轴的单位长度相等）

根据这个定义，我们可以判定抛物线y=a_1x^2+b_1x+c_1(a_1\ne0)与抛物线y=a_2x^2+b_2x+c_2(a_2\ne0)是相似的。

事实上，函数y=f(x)的图象在坐标系中经过坐标变换\left\{\begin{matrix} x=kx{}'\\ y=ky{}' \end{matrix}\right.，可以得到一条和原图象相似的函数图象y^\prime=\frac{f(kx^\prime)}{k}，于是我们把坐标变换\left\{\begin{matrix} x=kx{}'\\ y=ky{}' \end{matrix}\right.叫做相似变换或缩放变换。

另一方面，抛物线y=mx^2+b_1x+c_1(m\ne0)与抛物线y=mx^2+b_2x+c_2(m\ne0)的二次项系数相等，所以在不同的坐标系中它们是相似的。

于是，经过变换\left\{\begin{matrix} x=kx{}'\\ y=ky{}' \end{matrix}\right.，抛物线y=a_1x^2+b_1x+c_1(a_1\ne0)将变为ky^\prime=a_1(kx^\prime)^2+b_1kx^\prime+c_1，变形即得y^\prime=ka_1{x^\prime}^2+b_1x^\prime+\frac{c_1}{k}。所以，只要令ka_1=a_2，即k=\frac{a_2}{a_1}，抛物线y=a_1x^2+b_1x+c_1(a_1\ne0)经过变换后与抛物线y=a_2x^2+b_2x+c_2(a_2\ne0)的二次项系数就相等了，也就相似了。这就证明了抛物线y=a_1x^2+b_1x+c_1(a_1\ne0)与抛物线y=a_2x^2+b_2x+c_2(a_2\ne0)是相似的。

既然所有的抛物线都相似，也就是形状相同，那么浙教版数学九年级上第35页作业题5就有问题了。

作业题5：已知一个二次函数图象的形状与抛物线y=4x^2相同，它的顶点坐标是（2，4），求该二次函数的解析式。

本题的问题就在于“两条抛物线的形状相同”，当我们知道任何抛物线的形状都相似后，这个“条件”就不是条件了。但是，类似的问题不仅仅在浙教版的教科书中，普遍存在于其他教科书、试题和教辅材料中。

如果将上述问题中的用词稍作改动，那么问题就可以解决了，改动如下：

已知在同一坐标系中，一个二次函数y=ax^2+bx+c(a\ne0)图象与抛物线y=4x^2能重合，它的顶点坐标是（2，4），求该二次函数的解析式。

如果大家还是觉得“所有的抛物线都相似”不可信的话，请看下面图示。

由此直观地看到，不论抛物线的开口大小怎样，都是相似的。我们还可以用同样的方法证明所有抛物线（对称轴不一定平行于y轴）都相似。还可以证明双曲线y=\frac{k}{x}(k\ne0)都相似。

讲述了所有的抛物线都相似后，它的意义何在？它又有什么用处？文章没有涉及。也是我感到遗憾的地方。希望有这方面灵感的同行与我交流。

无独有偶，有人和我一样关注过同一个问题，如你有兴趣可以点击这里。