对反比例函数图象的新认识

反比例函数有许多性质，经过同行们的不断探索，又发现了新的性质，今列举如下，供大家研究。

1、如图，是两条反比例函数图象，它们是相似的。

相似的定义：若一条曲线经过缩放变换能与另一条曲线完全重合，那么这两条曲线称为相似的。

有关文章请参见《抛物线都相似》。

2、利用反比例函数图象可以画出两条已知线段的比例中项。

3、如图反比例函数图象与直线y=kx+m交于A、B两点，A点的坐标是(a,b).

（1）如图1，当m=0时，B点坐标是(-a,-b)；

（2）如图2，当k=1时，B点坐标是(-b,-a)；

（3）如图3，当k=-1时，B点坐标是(b,a).

这是反比例函数图象的对称性。

4、如图，A、B是反比例函数图象上任意两点，作AC⊥y轴于C，作BD⊥x轴于D，那么CD∥AB。

5、如图，A是x轴上任意一点，AB⊥x轴于A，交反比例函数图象于C，且BC=AC，BD⊥y轴于D，交反比例函数图象于E，那么DE=EB。

6、如图，射线OB交同一象限的两条反比例函数图象于A、B，且OA=AB，那么过O点的与这两条反比例函数图象相交于C、D的任意射线，均被截得相等的线段，即OC=CD。

7、如图，任一条直线与任意的反比例函数图象交于A、B，与坐标轴交于C、D，那么AC=BD。

8、如图，A在反比例函数y=-\dfrac{m}{x}图象上，B在反比例函数y=\dfrac{n}{x}图象上，且∠AOB=90°，那么OA:OB=\sqrt{m}:\sqrt{n}.

备注：连结AB，还可以用m、n表示sin∠A。

9、利用反比例函数图象可以证明不等式：

当n>0时，\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+3}>\dfrac{2}{n+2}。

解：如图设反比例函数为y=\frac{1}{x}，A、E、B三点的横坐标分别为n+1,n+2,n+3，过这三点分别作x轴的垂线，交双曲线于D、F、C，直线DC和直线EF交于G，

则AD=\dfrac{1}{n+1}，EF=\dfrac{1}{n+2}，BC=\dfrac{1}{n+3}，

由梯形中位线定理得：EG=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+3})，

故\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+3})>\dfrac{1}{n+2}，

即，\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+3}>\dfrac{2}{n+2}。

10、如图，双曲线y=\frac{k}{x}交OA的中点于D，AB⊥x轴于B，交双曲线于C，AC·OB=6，求k的值。

解：连OC，作DE⊥x轴于E，由已知△AOC的面积为3，

∵△ODE和△OCB的面积均为\dfrac{1}{2}k，由D是OA中点知：△OAB的面积=4△ODE的面积

∴\dfrac{1}{2}k+3=4\times\dfrac{1}{2}k，k=2.