几何作图题的征解结果

没想到才过4天，一道几何作图题征集到多人的解答，并在QQ群（出众树雪88730268）上引起大讨论，看来数学研究就得这样，有问题大家研究，有结果大家分享。

一、问题提出

问题1

一位老师问我：在一个长8厘米、宽6厘米的长方形内画两个圆，这两个圆的面积之和最大是多少？

因为百思不得其解，于是想用几何画板绘制图形，以探索最大值的位置。但作图遇到了困难，也就是

问题2

如图在已经画出矩形ABCD和圆P后怎样用尺规作出圆Q。

其实，为了解决问题1，这样的作图是错误的，在最后我们再谈这个问题。

二、问题探索

曾经我解决过这样一个作图题：

问题3

如图，已知圆O和直线l上一点A，求作圆P，使圆P与圆O外切，且与直线l相切于A。

作法是：在过点A的l垂线上截取AB等于圆O半径r，作OB的中垂线交这条垂线于P，P即为所求的圆心。（这个方法想得我好辛苦）

我这里的想法是要在过A点l的垂线上找一点P，使PO-r=PA，如何改造这个条件，使P到两个定点的距离相等呢？于是想到了B点，有PB=PO。

受到这个作图的启发，我对上述问题有了新的思路：

如图，将AB往下平移圆P半径R的距离，过B点作∠A’B’C’=45°。于是就产生了

问题4

∠ABC=45°，P为角内部的一个定点，用尺规在射线BC上找一点Q，使Q到AB的距离等于QP。

三、问题解决

对于问题2和问题4我请教了同行，以下是同行的解答。

对于问题2，李玉荣老师在凤凰数学论坛中给出了一种结合代数方法的解答：

如图，设大圆与AB切于E，BE=a，大圆半径为R，小圆半径为r，
可以得到方程(R+r)^2=(R-r)^2+(a-r)^2，
解得r=a+2R-2\sqrt{R(a+R)}，
由射影定理可作出线段\sqrt{R(a+R)}，
进而可作出r=a+2R-2\sqrt{R(a+R)}。

对问题2宁波市曙光中学胡伟斌老师也给出了结合代数的解法：

如上图，大圆半径为b，AB=a，同样可以列出方程

(b+r)^2=(b-r)^2+(a-b-r)^2，

解得r=a+b-2\sqrt{ab}，接下来的方法还是用射影定理。

对于问题4，宁波市海曙区教研员高友军老师是这样解的：

1、作点P关于直线BC的对称点P’；

2、作射线B P’;作P’D⊥AB于D，交BC于E；

3、在B P’上截取一点F，使EF=ED；

4、过P’作P’Q∥EF交BC于Q.

这样可以作QH⊥AB于H,然后证明DE:QH=EF:P’Q，从而得到P’Q= QH=QP。

值得一提的是，高老师的方法实在很难想到，实在太妙了，高老师是高手啊。

我对问题4的解决方法：

1、作PD⊥AB；

2、作PD的中垂线，垂足为E；

3、作矩形，使其宽为2PE，长为PE+EF（F在BC上）；

4、作最大的圆P和最大的圆Q（作圆Q的方法见上）

结论：点Q就是所求。

追加：

2011年4月7日，宁波邱隘实验中学马昌敏老师传过来他最新最好的解法：

如图，作射线BP，在射线BC上任取一点M，作MH⊥AB于H，在BP上截取D点，使MD=MH，过P作PQ∥DM交BC于Q，点Q即为所求。

四、问题思考

思考1

按照高友军老师的作图方法，可知不论∠ABC等于几度，只要P在角内部，点F必有2个，故点Q必有2解。

思考2

为什么我对问题4的解决方法里，只能作出1个解呢？正在思考中……

思考3 

我原来的想法都不能解决问题1.因为问题1要求两个圆面积和最大，两圆应该放在相对的位置（如图）。

设圆O_1的半径为x，圆O_2的半径为m，则有

(6-x-m)^2+(8-x-m)^2=(x+m)^2,

即(x+m)^2-28(x+m)+100=0,解得m=14-4\sqrt{6}-x,

∴两圆面积和=\pi[x^2+(14-4\sqrt{6}-x)^2]

=\pi[2x^2-2(14-4\sqrt{6})x+(14-4\sqrt{6})^2

=2\pi[(x-(7-2\sqrt{6})]^2+2\pi(7-2\sqrt{6})^2

可见，当x=7-2\sqrt{6}时，

面积和最小值=2\pi(7-2\sqrt{6})^2。

这时两个圆是等圆！这个结论的前提是两圆及矩形之间要相切。

那么面积和的最大值是多少呢？由上面推导可得两圆半径之和为定值，即m+x=14-4\sqrt{6}，继而可得m和x的差最大时，面积和最大（即问题2）。

追加：

宁波邱隘实验中学马昌敏老师对最大值的问题给出了完整的解答：

由上可知，设圆O_1的半径为x，圆O_2的半径为m，则有

m+x=14-4\sqrt{6}，且11-4\sqrt{6}\le{x}\le{3},

当x=3或x=11-4\sqrt{6}时，两圆面积之和取得最大值。最大值是

\pi[(11-4\sqrt{6})^2+3^2]=\pi(226-88\sqrt{6})