等边三角形具有轴对称性和旋转对称性，四平八稳的图形却可以构造出千姿百态的图形，是三角形中最具魅力的图形。因为正三角形的一半是特殊的直角三角形，所以正三角形的问题又常常转化为直角三角形来解决。今撰斯文，欲展示正三角形的众多性质，你读罢定会感慨频频。
一、三垂线
例1 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，求证：OD+OE+OF等于正三角形的高。
证明：连结OA,OB,OC，设正三角形高为h，因为S_{\triangle{AOB}}+S_{\triangle{BOC}}+S_{\triangle{AOC}}=S_{\triangle{ABC}}
所以，\frac{1}{2}\times{AB}\times{OD}+\frac{1}{2}\times{BC}\times{OE}+\frac{1}{2}\times{AC}\times{OF}=\frac{1}{2}\times{AB}\times{h}
因为AB=BC=CA，
所以OD+OE+OF=h.
例2 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，求证：AD+BE+CF=BD+CE+AF.
解法一
利用勾股定理，有AD^2+OD^2=AF^2+OF^2,类似地还有其他2个等式，三个式子相加，化简得到：
AD^2+BE^2+CF^2=BD^2+CE^2+AF^2,
即AD^2+BE^2+CF^2=(a-AD)^2+(a-BE)^2+(a-CF)^2
化简：AD+BE+CF=\frac{3a}{2}，a是正三角形的边长。
解法二
如图，过O作MN∥BC，交AB、AC于点M、N，过M作MH⊥BC交BC于点H,
则AD+BE+CF=AD+2MD+\frac{1}{2}BM+BM+\frac{1}{2}(AM-2MD)=AD+MD+BM+\frac{1}{2}(BM+AM)=\frac{3}{2}AB,
同理BD+CE+AF=\frac{3}{2}AC,
∴AD+BE+CF=BD+CE+AF.
又：
在这种辅助线下，还可以设DO=x，OE=y，OF=z，
于是正三角形的高是x+y+z，从而边长可以被表示，MD,MH,BM可以表示。
进而AD可以表示，这样表示BE,CF也不难了，AD+BE+CF就可以被x,y,z来表示。
可以肯定AD+BE+CF表示后的结果一定是周长的一半。
解法三
如图，延长EO、FO交边于G,H，过G,H作边的平行线GM,HN，
则AD+BE+CF=(DH+MC)+EM+(BH+AF)=BD+CE+AF.
例3 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，求证：S_{\triangle{AOD}}+S_{\triangle{BOE}}+S_{\triangle{COF}}=\frac{1}{2}S_{\triangle{ABC}}。
解：过O作BC的平行线，将三角形分成上下两部分，如图，上部分相当于证明O在BC上时，黄色部分面积为正三角形面积的一半。证明如下：
设AB=2a，∴OD+OF=\sqrt{3}a，设OF=x，则AD=2a-\frac{\sqrt{3}a-x}{\sqrt{3}}=a+\frac{x}{\sqrt{3}}，
则黄色面积=\frac{1}{2}(\sqrt{3}a-x)(a+\frac{x}{\sqrt{3}})+\frac{1}{2}\frac{x}{\sqrt{3}}x
=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{1}{2}S_{\triangle{ABC}}.
如图，对于下半部分的证明类似。故结论得证。
二、三交线
如图，在正三角形ABC的三边上依次取BD=CE=AF，连AD、BE、CF，交点是P、Q、R，这个图的内部有三条交线，里面形成一个正三角形，两个正三角形的面积之比取决于BD和DC之比。如果去掉一条交线，又会得到一个熟知的图形。
例4 如上图及已知，当BD:DC=1:n时，求小正三角形与大正三角形面积的比。（自编题）
解：过D作DG∥CF，则可证BG:GF:FA=1:n:\frac{n+1}{n}，
进而AR:AD=FR:GD=\frac{n+1}{n}:(\frac{n+1}{n}+n)=\frac{n+1}{n^2+n+1}，
又DG:FC=1:(n+1)，∴FR:FC=\frac{n+1}{n^2+n+1}\times\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n^2+n+1}，
所以RQ:FC=1-\frac{1}{n^2+n+1}-\frac{n+1}{n^2+n+1}=\frac{n^2-1}{n^2+n+1}，
在△ABD中设BD=1，AB=n+1，
∵∠ABD=60°，∴AD=\sqrt{n^2+n+1}，
∴AD:AB=\sqrt{n^2+n+1}:(n+1)，
∴RQ:AB=\frac{\sqrt{n^2+n+1}}{n+1}\times\frac{n^2-1}{n^2+n+1}=\frac{n-1}{\sqrt{n^2+n+1}}，
由两个正三角形相似得，小与大的面积之比是RQ^2:AB^2=\frac{(n-1)^2}{\sqrt{n^2+n+1}}。
例5 如上图，正三角形ABC中，BD=CE，BE、AD交于P写出这个图形尽量多的性质。（自编题）
解：①有2对全等三角形；②有6对相似三角形；③∠APE=60°；④BD^2=DP\times{DA}、AE^2=EP\times{EB}。
三、到三顶点的距离
例6 如图，P在正三角形ABC内，P到三个顶点的距离分别是3、4、5，求△ABC的面积（精确到0.01）。
解：如图，将△APC绕A点顺时针旋转60°至△AQB，设QB=PC=3，QP=AP=4，PB=5，易证∠APC=∠AQB=150°,如左图，作BH⊥AQ，因∠BQH=30°，故BH=1.5，AH=4+\frac{\sqrt{3}}{2}，由勾股定理可以求出AB，进而求出面积的近似值。
四、正三角形拼图
1、三角板拼图
例7 如图1是由四块全等的含有30°角的直角三角板拼成的正方形，已知里面小正方形的边长为\sqrt{3}-1．如图2，取其中的三块直角三角板拼成等边三角形ABC，再以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（自编题）
（1）求等边△ABC的面积；
（2）求BC边所在直线的解析式；
（3）将第四块直角三角板与△CDE重合，然后绕点E按逆时针方向旋转60°后得△EC’D’ ，问点C’是否落在直线BC上？请你作出判断，并说明理由．
解略。
2、两个正三角形拼菱形
例8 两个正三角形拼成一个菱形ABCD，（1）此菱形有哪些性质？（2）在BC、CD上各取一点E、F，使BE=CF，求证：△AEF是正三角形。
解：（1）较长对角线是较短对角线的\sqrt{3}倍；过A点的高平分BC；有120°的内角。在菱形中只要满足这三条之一的，必满足其余。（2）略
3、三个正三角形拼梯形
例9 如图，三个正三角形拼成等腰梯形，此梯形有哪些性质？（自编题）
解：①有60°的底角；②下底是腰的一半；③周长是腰的5倍；④对角线AC垂直腰BC；⑤对角线平分60°的底角；⑥上底等于腰。一个等腰梯形具有这6个结论中的任意2个，必同时满足其余的结论。
五、正三角形内的正方形
例10 如图，正△ABC中，BC=2\sqrt{3}+3，在BC上取一点A1，作A1A2⊥BC交BC于A2，在△ABC内部作正方形A1A2 A3A4。过A3点作AB的垂线交AB于C4，在△ABC内部作正方形C1C2 C3C4，其中C1在AB上，C2在AC上，并且所作的两个正方形边长相等。又过C3点作AC的垂线交AC于B4，交A3A4于B3，在△ABC内部作正方形B1B2 B3B4，其中B1在AC上。（自编题）
（1）求A1A2的长；
（2）求证：正方形B1B2 B3B4的边长与正方形A1A2 A3A4的边长相等；
（3）求证：B2在BC上。
解：(1)设正方形的边长为x，则A_2B=\frac{2}{3}\sqrt{3}x，A_2C_4=\frac{1}{2}x，C_1A=\frac{1}{3}\sqrt{3}x
所以\frac{2}{3}\sqrt{3}x+x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\sqrt{3}x=2\sqrt{3}+3，解之x=2。
（2）易证\triangle{A_3B_3C_3}是正三角形，\triangle{A_3A_2C_4}\cong\triangle{C_3C_2B_4}，
所以A_3C_3=B_3C_3,A_3C_4=C_3B_4，即C_3C_4=B_3B_4，
故正方形B_1B_2B_3B_4的边长与正方形A_1A_2A_3A_4的边长相等。
（3）B_1C=AC-AC_2-C_2B_4-B_4B_1=2\sqrt{3}+3-\frac{4}{3}\sqrt{3}-1-2=\frac{2}{3}\sqrt{3}，
又因为B_1B_2=2，由勾股定理得B_2C=\frac{4}{3}\sqrt{3}，故\angle{B_1CB_2=60^\circ},
即B2在BC上。
六、两个正三角形组合
两个正三角形可以组成许多有趣的图形，有些图形的结论还鲜为人知呢。
例11 如图△ABC和△BDE均为正三角形，AE和CD交于P。（1）当A、B、D共线时，求证：∠APB=∠DPB=60°；（2）当A、B、D不共线时，∠CPB=∠EPB=60°吗？为什么？
解：两个问题的证明完全一样。
作△ABE和△CBD的高BG、BH，有这两个三角形全等可知，BG=BH，所以BP平分∠APD（或∠CPE），因△ABE和△CBD可以看作绕B点旋转90°重合的，所以对应边AE和CD所成的角为60°，即∠APC=60°，故结论成立。
思考：如果将△EBD沿BD反射，结果又会怎样呢？
例12 如图，△AOB和△BCD均是正三角形，点O是坐标原点，A(2,0)，C是x轴上一点，D、O在BC异侧，问：当C点运动时，D点运动的轨迹是什么？（也可以问：当C点运动时，直线AD是否固定？为什么）
解：可以证明△OBC≌△ABD，所以∠BAD=60°，所以D点运动的轨迹是直线y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}。
思考：
(1)将条件“D、O在BC异侧”改为“D、O在BC同侧”，结论又如何呢？
(2)如下图，如果将条件“C是x轴上一点”改为“C是y轴上一点”，“正三角形△BCD”改为“正三角形△CAD”，BD和AB的关系如何呢？
(3)如下图，如果将条件“C是x轴上一点”改为“C是OB上一点”，“正三角形△BCD”改为“正三角形△CAD”，DB和OA的关系如何呢？
例13 判断命题“△ABC和△ABD有公共边AB，且C、D在AB同侧，如果AD和BC相交且相等，那么△ABC≌△ABD”是否成立？
解：如果我们画出如下的图形，可能很难判断命题的真假。
注意，并不能因为是“边边角”就判断是假命题，关于“边边角”的更多内容，请参见“引人入胜的SSA”。
本命题确为假命题。以前，我举的反例是：
在正三角形BCE中，A是CE上的点（非中点），将△ABE绕AB的中点旋转180°得到△ABD，这就是反例。
后来找到了用两个正三角形来组成反例的图形：
如图，△APC和△BPD均为正三角形，A、P、D共线，这个图形就是反例。
思考：用两个等腰三角形来代替△APC和△BPD可以吗?
七、正三角形分割
例14 用多种方法将正三角形分割成4个等腰三角形。
解：至少有以上4种分割方法。值得惊奇的是居然有一种不对称的分割。
思考：还有其它方法吗？
例14-2 以下两个图形是一个等腰Rt△ABC和一个等边△DEF，要求把它们分别分割成3个三角形，使得△ABC分出的3个三角形与△DEF分出的3个三角形分别相似。
解：我想到以下几种方法，一定还有其它方法哦，想到了再补充。
追加：
2011年4月28日江东区的数学教研活动中，专题研究了本题，同行们又得出了以下4种不同的分割方法：
八、找等腰点
例15 已知正三角形ABC，在平面上找一点P，使△ABP、△BCP、△CAP均为等腰三角形，这样的P点有 种不同的位置。
解：如图，在BC的中垂线上符合条件的点有4个，而边的中垂线有3条，故共有10个不同的位置（其中形内只有一点）。
九、正三角形网格
正三角形网格能发挥正方形网格力不能及的作用，在正三角形网格图中，能呈现五彩缤纷的数额学问题。
例16 如图，在正三角形网格中有个格点△ABC及格点O，请画出△ABC以点O为旋转中心逆时针旋转120°的像。
解：△A’B’C’就是所求的像。
我们常常在正方形网格里将一个图形旋转90°，为什么不可以在正三角形网格里将一个图形旋转60°或120°呢？
例17 如图把边长为4的正三角形各边四等分，连结各分点得到16个小正三角形．
（1）在图1中，画出以小正三角形的顶点为顶点的一个正六边形ABCDEF，并求这个正六边的周长．
（2）请你判断：命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是真命题还是假命题？如果是真命题，请你把它改写成“如果……，那么……”的形式；如果是假命题，请你在图2中画图说明．
解：略。
例18 在如图的正三角形网格中，画出格点三角形，使三边之比为1:\sqrt{3}:2，这样的三角形面积是值有 种。
我的答案只有如图3种，不知是否还有？
例19 如图，在正三角形网格中，一个小正三角形的面积为1，给定2个格点A、B，请你再找一个格点C ，使得△ABC的面积为2，这样的C点共有 种不同的位置。
解：利用平行线面积不变的原理，如图共可以找到8个不同的位置.
例20 如图是一个由基本图形经过若干次平移后得到的图形，这个基本图形可以是（ ）
解：答案是C，只要将6个C的图形组合在一起即可。
十、杂题
例21 如图正三角形ABC中，D是边BC上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，（1）若BD=3，CE=2， 求AE；（2）当AB=8时，求CE的最大值。
解：（1）设AB=x，由△ABD∽△DEC得，x:(x-3)=3:2，x=9，所以AE=9-2=7.
（2）设BD=x，EC=y，由△ABD∽△DEC得，x:y=8:(8-x)，则y=-\frac{1}{8}(x-4)^2+2，所以y的最大值是2.
例22 如图，正三角形ABC的边长为a，P是中位线DE上一点，直线BP、CP交边于G、F，则\frac{1}{BF}+\frac{1}{CG}= 。
方法一：用特殊位置法解
当P与D重合时，BF=\frac{a}{2},CG=a,\frac{1}{BF}+\frac{1}{CG}=\frac{2}{a}+\frac{1}{a}=\frac{3}{a}.
方法二：
设GE=m，DF=n，PE=x，则PD=\frac{a}{2}-x.
由△GPE∽△GBC得，\frac{m}{m+\frac{a}{2}}=\frac{x}{a}，
由△FPD∽△FCB得，\frac{n}{n+\frac{a}{2}}=\frac{\frac{a}{2}-x}{a}，
分别解得m=\frac{ax}{2(a-x)}，n=\frac{a^2-2ax}{2(a+2x)}，
故CG=\frac{ax}{2(a-x)}+\frac{a}{2}=\frac{a^2}{2(a-x)}，
BF=\frac{a^2-2ax}{2(a+2x)}+\frac{a}{2}=\frac{a^2}{a+2x}，
所以，\frac{1}{BF}+\frac{1}{CG}=\frac{2(a-x)}{a^2}+\frac{a+2x}{a^2}=\frac{3}{a}.
例23 如图，△AEF和△CDF是正三角形ABC内的两个正三角形，已知S_1=a,S_2=b，求S_3的值。
自己编的，解答留给读者吧。
例24 如图△ABC是边长为6的正三角形，直线BC上取两点D、E，使∠DAE=120°，（1）试写出3个比例中项的式子；（2）已知BD=4，求AE的长。
解：（1）BC^2=BD\times{CE}，AD^2=BD\times{DE}，AE^2=EC\times{ED};
（2）由BC^2=BD\times{CE}，得CE=9，又由AE^2=EC\times{ED}，得AE=3\sqrt{19}.
例25 如图边长为2的正三角形ABC中，D是BC上一点，DF⊥AC于F，在BA延长线上取一点G，使得AG=CD，连DG交AC于E，则EF= 。
解法一：（特殊位置法）
令D与B重合。则F是AC之中点，E与A重合，故EF=1.
解法二：
作DM∥AB，则易证△CDM为正三角形，且△DME≌△CAE，
故MF=\frac{1}{2}MC,ME=\frac{1}{2}MA，因此EF=\frac{1}{2}AC=1。