一个定理的多种证明方法

定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

已知:如图Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,求证:CD=[latex]\frac{1}{2}[/latex]AB.

方法1:书本中的方法

延长CD至E,使DE=CD,连AE、BE,

容易证明四边形ACBE是矩形,

∴[latex]CD=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}AB[/latex].

方法2:

延长CD至E,使DE=CD,连AE,或者绕D点将△CDB旋转180°得△EDA,

容易证明△ACB≌△CAE,

∴[latex]CD=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}AB[/latex].

方法3:

将△ABC沿AC反射得△ACE,∵∠ACB=90°,∴E,C,B三点共线,

∵D是AB的中点,C是EB中点,∴[latex]CD=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}AB[/latex].

方法4:

作△ABC的中位线DE,那么DE∥BC,∵∠ACB=90°,∴DE⊥AC,

∴CD=AD=[latex]\frac{1}{2}AB[/latex].

方法5:

作△ABC的中位线EF,连ED、DF,

容易证明四边形CEDF是矩形,∴[latex]CD=EF=\frac{1}{2}AB[/latex].

方法6:同一法

在AB上取一点D’,使D’C=D’B,∴∠D’CB=∠B,

∵∠A+∠B=90°,∠D’CA+∠D’CB=90°,∴∠A=∠D’CA,

∴AD’=CD’,故AD’=BD’,即D’是AB的中点。

又∵D是AB的中点,∴D’和D重合,∴CD=[latex]\frac{1}{2}[/latex]AB.

方法7:坐标法

如图,以C为坐标原点,直线CB为x轴建立坐标系。

设A点坐标是(0,a),B点坐标是(b,0),那么中点D的坐标是[latex](\frac{b}{2},\frac{a}{2})[/latex],

所以[latex]AB=\sqrt{a^2+b^2}[/latex],[latex]CD=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}[/latex],

∴CD=[latex]\frac{1}{2}[/latex]AB.

方法8:辅助圆法

作△ABC的外接圆,那么D是圆心,所以CD=[latex]\frac{1}{2}[/latex]AB.

方法9:

如图,将△DBC沿BC反射得△EBC,那么 DE⊥BC,∵BC⊥AC,∴DE∥AC,

∵D是AB中点,∴E是BC中点,∴四边形DCEB是菱形,∴CD=DB,

所以CD=[latex]\frac{1}{2}[/latex]AB.

方法10:反证法

假如CD≠AD,不妨设CD>AD,那么我们可以在CD上取一点E,使ED=AD=DB,于是∠1=∠2,∠3=∠4,

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠2+∠3=90°,

∵又∠2+∠3>∠ACB=90°,这是矛盾的(自相矛盾)

∴CD=[latex]\frac{1}{2}[/latex]AB.

方法11:

将整个图形沿AC反射,可得CD’∥AB,∴∠1=∠3,∠1=∠2。

∴∠2=∠3,∴CD=AD=[latex]\frac{1}{2}AB[/latex].

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