一个定理的多种证明方法

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，求证：CD=\frac{1}{2}AB.

方法1：书本中的方法

延长CD至E，使DE=CD，连AE、BE，

容易证明四边形ACBE是矩形，

∴CD=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}AB.

方法2：

延长CD至E，使DE=CD，连AE，或者绕D点将△CDB旋转180°得△EDA，

容易证明△ACB≌△CAE，

∴CD=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}AB.

方法3：

将△ABC沿AC反射得△ACE，∵∠ACB=90°，∴E,C,B三点共线，

∵D是AB的中点，C是EB中点，∴CD=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}AB.

方法4：

作△ABC的中位线DE，那么DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴DE⊥AC，

∴CD=AD=\frac{1}{2}AB.

方法5：

作△ABC的中位线EF，连ED、DF，

容易证明四边形CEDF是矩形，∴CD=EF=\frac{1}{2}AB.

方法6：同一法

在AB上取一点D’，使D’C=D’B，∴∠D’CB=∠B，

∵∠A+∠B=90°，∠D’CA+∠D’CB=90°，∴∠A=∠D’CA，

∴AD’=CD’，故AD’=BD’，即D’是AB的中点。

又∵D是AB的中点，∴D’和D重合，∴CD=\frac{1}{2}AB.

方法7：坐标法

如图，以C为坐标原点，直线CB为x轴建立坐标系。

设A点坐标是(0,a)，B点坐标是(b,0)，那么中点D的坐标是(\frac{b}{2},\frac{a}{2})，

所以AB=\sqrt{a^2+b^2}，CD=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}，

∴CD=\frac{1}{2}AB.

方法8：辅助圆法

作△ABC的外接圆，那么D是圆心，所以CD=\frac{1}{2}AB.

方法9：

如图，将△DBC沿BC反射得△EBC，那么 DE⊥BC，∵BC⊥AC，∴DE∥AC，

∵D是AB中点，∴E是BC中点，∴四边形DCEB是菱形，∴CD=DB，

所以CD=\frac{1}{2}AB.

方法10：反证法

假如CD≠AD，不妨设CD>AD，那么我们可以在CD上取一点E，使ED=AD=DB，于是∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，

∵又∠2+∠3>∠ACB=90°，这是矛盾的（自相矛盾）

∴CD=\frac{1}{2}AB.

方法11：

将整个图形沿AC反射，可得CD’∥AB，∴∠1=∠3，∠1=∠2。

∴∠2=∠3，∴CD=AD=\frac{1}{2}AB.