在初二下《命题与证明》中，有证明“三角形内角和等于180°”的学习内容。
上课一开始，我说：这个定理我们早在初一甚至小学就用了，就是没有证明，最多只是用实验的方法加以验证。今天请大家证明一下。
学生的证明方法有：
方法1：延长BC至D，∵∠ACD=∠A+∠B，∠ACD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
方法2：作高AH，∴∠BAH+∠B=90°，∠CAH+∠C=90°，那么∠A+∠BAC+∠C=180°.
见了学生的解法，我说：老师也提供一种证法。
方法3：如图，反射△ABC得△ABD，∵四边形ABDC的内角和为360°，故∠A+∠ABC+∠ACB=180°.
我问：这个方法好吗？学生齐答：好！
我因势利导，问：你们知道以上三种方法的证明中用到的依据是什么？学生答：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
直角三角形的两个锐角互余.
四边形的内角和等于360°.
再问：这三个定理是靠什么证明的？学生：这…….想不起来了.
我告诉学生：这三个定理无一例外地都是用三角形内角和定理证明的，你们知道这有什么不妥吗？学生摇摇头.
我举了一个例子，假如有一种字典，解释“清”的含义说：“洁也，请见第×页”，翻到“洁”后解释是：“清也，见第×页”.大家纷纷说：这算什么字典，它等于什么也没解释.
我说：对啊，那我们用三角形内角和定理证明三角形外角定理，又用三角形外角定理证明三角形内角和定理，这不也是什么都没证吗？
这下学生明白了，上面的三种方法都是错误的.我明确地告诉学生：“这叫循环论证”.
接下来学生的证明方法五花八门，所用的方法无一不是用平行线的.（见下图）
过了2天，课题是《4.4 反证法》，要证明的定理有2个：
定理1：在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交.
定理2：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么着两条直线也互相平行.
书上是用一个公理“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”来证明定理1的.
我用如下方法.
已知：a∥b，c与b交于P，求证：c与a也相交.
证明：假如c∥a，∵a∥b，∴c∥b，这与“c与b交于P”矛盾，∴c与a也相交.
接下来我请大家证明定理2，学生的方法有2种.
已知：a∥b，c∥b，求证：c∥a.
方法1：假设c与a相交.∵a∥b，∴c与b相交，这与“c∥b”矛盾，∴c∥a.
方法2：作第4条直线与a,b,c都相交，∵a∥b，c∥b，∴∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，∴c∥a.
证完后我问：当这2个定理的如上证明方法出现在同一块黑板上，你们认为有什么问题吗？
学生没发现问题，再问：定理1的证明中用到了什么？定理2的证明方法1中又用到了什么？这下学生有反应了：哇！是循环论证.
那么方法2可以吗？齐答：可以.
其实方法2中的辅助线是第4条直线与a相交，那么为什么也会和b相交呢？这是定理1的缘故，所以依然是循环论证.
最后师生达成一个共识，这2个定理的证明至少有一个要用公理来证.