一段数学探究活动纪实

今天给学生讲解一道很平常的几何题:

如图,平行四边形ABCD中,AD=2AB,E是BC的中点,求证:∠AED=90°.

解完后,我对同学们说:

我经常告诫大家,解题后要留有思考余地,本题我们能思考什么呢?

大家讲了一些可以思考的问题,但没有讲到我希望的内容,我只好直截了当抛出了问题:

难道我们不可以想想,除了BC的中点可以使∠AED=90°,BC上就没有其它点也有这个结论了?

我于是画出如下图形。

其实抛出这个问题的时候,自己心里也没底。

这时,大家就活跃开了。有些说没有了,有些说应该还有一点,还有些说好像还有几点。

我也和学生一起思索着……,相似,圆,方程,勾股定理,这些念头一一闪过。

我知道,当四边形ABCD为矩形时,这样的点只有中点。但现在条件是平行四边形,难道也只有一点吗?

此时学生还没有结论。我突然想到了轴对称变换。

如图,将△AED沿着AD的中垂线反射得△AE’D,岂不是找到了第二个点了吗?

我将这个图形画出来后,学生都看明白了,似乎问题已经解决。但我意识到这个E’点有可能会跑到BC的延长线上,可是学生没有想到。于是,再问:

同学们,难道说任何情况下,BC上总有两个E点使∠AED=90°?

这一问,有学生反应过来了,有人说有可能E’点会在BC的延长线上。

我乘机再问:

那么BC上有2个还是1个这样的点,与平行四边形的什么有关?

这次大家都想到了,与∠B的大小有关!

我就顺水推舟:

大家继续探究,当∠B在什么取值范围时BC上有2个这样的点?

我发现学生似乎有点困难,就启发道:

我们运用“极端原理”试一试,即当E与C重合时∠B是几度?

有学生很顺利地画出如下图形。

推导出此时∠B=60°.

一位学生说:我有答案了,∠B<60°

另一位反驳:错了,应该是∠B>60°

经过一段时间的酝酿,大家都同意后一位的观点。

我反问:当∠B=90°如何呢?

学生又有想法了,慢慢地大家将答案统一成60°<∠B<90°.

在这期间,我始终是一位参与者、合作者和引领者,自己也是在摸着石子过河,没想到一个不经意的问题引发了这么多的思考,挺有成就感的。但我的脑子里依然想象着∠B的动态过程,忽然一个念头出来了,∠B为钝角时也有2个点E位置的可能!

于是就追问:你们肯定60°<∠B<90°这个答案了吗?

学生当然说肯定。

我只好提醒:当∠B为钝角时呢?

因为学生想象有困难,我画出了如下的图形:

又一次来到了高潮,有学生不以为然说:这只是前面情况反过来(反射),不需考虑了。

也有学生给出了更完整的答案:60°<∠B<120°且∠B≠90°.

似乎圆满了。忽然一位学生又发言了,60°和120°都能取到。是啊,怎么就没想到线段BC上的点可以取在端点上?这是许多学生的想法。

经过这么一番探究,最终获得了一个崭新的命题:

平行四边形ABCD中,AD=2AB,E是线段BC上的点,∠AED=90°,为使E有两个不同的位置,∠B的取值范围是60°≤∠B≤120°且∠B≠90°.

 

多么有意义的一节课,我和学生们一起经历了提出问题、探究问题和解决问题的过程,编出了一道前所未有的几何题,我的学生再一次尝到了数学探究的甜头,双赢啊。

这样的数学课我经历得不多,记得有过几次,还写了一篇博客,有兴趣可以看看《学生的能力不可低估》,我很珍惜这样的机会,恐会遗忘,故撰斯文。

《一段数学探究活动纪实》有7个想法

  1. Hsin,你用中线判定直角三角形的方法更符合逻辑性,这样做既可以避免初二没学过圆的尴尬,又不需要凭几何变换的感觉,很好的方法,学习了。

  2. 面对初二学生这样做已是相当漂亮.昨天我看到这个题,第一感觉是用中线判定直角三角形再想到作辅助圆.现在想,实质上在这个判定下有两个途径,一是辅助圆一是你的反射(从角的角度做辅助圆,从线段的角度作反射).因我自己遇直角喜欢用辅助圆,所以就走了第一个途径.

    佩服黄老师的几何功底.

  3. 运畴帷幄 :你的结论似乎有点问题,角B大于,120也可以,E(皮)在CB的延长线上,角B小于60时,在BC的延长线上。所以这里的结论应该是角B=90只有一个点,其他都是二个点。在课堂上你想到,轴对称确实比较历害。应该说你是几何比较扎实,全等三角形里,一个常见证明题,

    不好意思,没看到你说在线段BC上,那么是对的,大于等于60小于等于120
    你的学生很历害

  4. 你的结论似乎有点问题,角B大于,120也可以,E(皮)在CB的延长线上,
    角B小于60时,在BC的延长线上。所以这里的结论应该是角B=90只有一个点,其他都是二个点。
    在课堂上你想到,轴对称确实比较历害。应该说你是几何比较扎实,全等三角形里,一个常见证明题,

  5. 谢谢你的评论。但当时我面对的是初二学生,还没有学圆呢。至于我为什么会想到反射,这也是凭感觉的。因为斜边是水平的直角三角形水平反射后,斜边不变,直角顶点作了水平移动。

  6. 首先肯定这是很好的话题.用轴对称研究学生可能不易接受(怎么会想到反射呢?),不若用辅助圆(要找直角,画圆是自然的联想)与四边形的不稳定性研究可能更自然些,个人意见.

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