计算器的使用与初中数学双基教学

一、前言

我国2001年颁发的《数学课程标准》指出:“能借助计算器进行复杂计算和探索数学规律……。在课堂教学、课外作业、实践活动以及考试中,应当允许学生使用计算器。”

由此可见,计算器进入初中数学课堂势在必行。以前,由于禁止学生使用计算器,结果加重了双基教学的任务,为了应付复杂的计算,学生从小学到初中都要进行大题量的操练。现在,计算器成了初中学生必不可少的学习工具,学生不仅仅摆脱了复杂的计算,而且改变了学习方式、思维方式,学习效益大为提高。

本文谈谈怎样正确引导学生合理使用计算器,使计算器成为促进双基教学的工具。

二、合理使用计算器促进双基教学

1、繁琐的计算被计算器替代

过去,在讲授数的运算时,教师既要讲清有关数的性质、运算法则,又要培养学生运算的熟练性,于是大量操练、烦琐的计算使学生应接不暇。现在,烦琐的计算被计算器替代,更多的时间可以化在“数的性质和运算法则”这个基本知识上,于是可以降低对计算技能的要求。

由于有了计算器,学生不再惧怕繁琐的计算,教师也用不着担心学生会因此丧失某种能力,只要对基本的计算能达到熟练的程度,这样做不会影响今后的学习。现在凡是直接按计算器能获得结果的题不再在考试中出现。

2、计算器使解题更加灵活

因为有了计算器,学生的解题就多了一种方法,探索能力、分析问题能力就会因此提高,这正是初中双基教学的要求(基本能力)。

例1.任意给定四个互不相同的数字,组成最大数和最小数,并用最大数减去最小数。对所得结果的四个数字重复上述过程,你会发现什么呢?

分析:本题是使用计算器提高探索能力的较好范例。假定所给的四位数是4321,那么4321-1234=3078,8730-3078=5652,6552-2556=3996,9963-3699=6264,6642-2466=4176,7641-1467=6147。

再试试其它的四位数也有同样的结果,即最后在7,6,4,1这四个数字进行死循环,也就是人们常说的“数字黑洞”。

下面来3道用计算器解决几何题的例子。

例2.如图,已知正方形ABCD中,E、F分别在DC、BC上,DE=3EC,EF平分∠AEC,求证:CF=BF。

分析:此题的常规解法是,如图延长EF和AB交于G,如果设AD=4a,容易求得DE=3a,AE=AG=5a,CE=BG=a,所以△CEF≌△BGF,所以CF=BF。

有位学生,他使用计算器的意识特别强,解法如下:

∵tan∠AED=[latex]\dfrac{AD}{ED}=\dfrac{4}{3}[/latex] ,∴∠AED=53.13010235°,

∠CEF=63.43494882°,设CE=a,

∴CB=4a,CF=CE·tan∠CEF=a·tan63.43494882°=2a, ∴BF=2a, ∴CF=BF。

综合列式:CF=[latex]a\times[tan(180-tan^{-1}\dfrac{4}{3})\div2][/latex]  =2a。

其中式子[latex]tan(180-tan^{-1}\dfrac{4}{3})\div2[/latex]的按键顺序是:

例3. 如图,等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AE是三角形的角平分线,BD⊥AE交AE延长线于D,求证:AE=2BD。

证明:∵∠CAE=22.5°,∴BD=ABsin22.5°

AB=[latex]\sqrt{2}[/latex]AC,AC=AEcos22.5°,∴BD=AEcos22.5°×[latex]\sqrt{2}[/latex]×sin22.5°=0.5AE

AEcos22.5°×[latex]\sqrt{2}[/latex]×sin22.5°的按键顺序是:

例4. 如图,在坐标系中有一矩形OABC,其中[latex]OB=\sqrt{5}[/latex],[latex]tan\angle{COB}=\dfrac{1}{2}[/latex],沿OB折叠矩形,使A落在第二象限的D点,求D点的坐标。

解:作DE⊥x轴于E,则∠BOA=tan-12,

∠DOE=180°-2tan-12,[latex]\dfrac{DE}{DO}=sin\angle{DOE}[/latex],

[latex]DE= sin(180^{\circ}-2tan^{-1}2)=\dfrac{4}{5}[/latex],所以[latex]OE=\dfrac{3}{5}[/latex],所以点D的坐标是[latex]D(-\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5})[/latex].

3、计算器让数学问题更加生活化

数据可以更一般、更接近实际,可以利用计算器进行近似计算。

三、计算器使用不当会对双基教学造成威胁

计算器进入初中数学课堂以后,双基状况究竟如何呢?状况确实令人担忧!

1、学生在使用计算器过程中出现的现象

其一,是滥用计算器。

再简单的计算也依赖计算器,例如计算-2+3,[latex]\dfrac{1}{2}\times{4}[/latex],[latex]\sqrt{9}[/latex]等,本应心算完成的计算,很多学生都用计算器完成。这样做双基如何落实?

经调查,近60%的学生计算能力比较低或很低,这些人尽管手里掌握着计算器,但还是经常出错。究其原因,太依赖计算器了,对数已经没有了感觉,运算速度特别慢。

有一道作业,我批改后特有感受。

例5.(1)计算12-1=           ;22-1=           ;32-1=          

(2)有一列数0,3,8,15,24,……,求第100个数是什么?

凡是平时滥用计算器的同学,就想不到两个小题的联系,就是说计算器泯灭了数感。

一天在因式分解复习课里,我要同学们做一道题:

例6.一个直角三角形的斜边为39,一条直角边为36,求另一条直角边。

完成后同学们报出了正确答案,经统计全班有92.3%的人是使用计算器完成的。接着我要求大家不用计算器完成计算,结果统计如下:

用方法1计算的占35.9%,用方法2计算的占23.1%,用方法3计算的占15.1%,还有25.9%的人不会算。

方法1  [latex]\sqrt{39^2-36^2}=\sqrt{1521-1296}=\sqrt{225}=15[/latex]

方法2  [latex]\sqrt{39^2-36^2}=\sqrt{(39+36)(39-36)}=\sqrt{75\times3}=\sqrt{225}=15[/latex]

方法3  [latex]\sqrt{39^2-36^2}=\sqrt{3^2(13^2-12^2)}=3\times5=15[/latex](13,12,5是一组勾股数)

由此看出,我们的学生摆脱计算器后,计算能力竟如此低下,虽然很多人使用计算器较快得出结果,但是却失去了巩固已学知识(如平方差公式、因式分解等)的机会。

其二,该用计算器的时候却想不到。

计算器不仅可以帮助我们完成计算题,还可以用来进行近似计算(估算)、检验结果是否正确、解决几何计算及证明、探索数学规律等,这是学生应具有的基本思想和技能,可是这一点学生差异很大,多数人缺乏这种思想和技能。

一次考试中有这样的题:

例7.按一定规律排列的一组数[latex]1,-\sqrt{2},\sqrt{3},-2,\sqrt{5},\cdots\cdots[/latex] ,如果从1开始依次连续选取若干个数,使它们的和大于2,那么至少要           个数。

本题应该用用计算器依次相加,每加一次显示结果,直到和大于2为止。但是有很大一部分学生没有想到使用计算器这个工具。

2、教师在引导学生使用计算器的过程中出现的现象

其一,禁止学生使用计算器。

尤其是初一年级,很多数学教师下了这个禁令。也许这样的教师初衷是想提高学生的计算能力,但岂不知这是扼杀学生的创造力,剥夺学生的学习权利,加重学生的学习负担,是与新课标背道而驰的。

如果初一上禁止学生使用计算器是因为有理数的运算要过关的话,那么最迟在初一下要放开使用计算器。

其二,放任自流。

这样的教师对学生使用计算器的情况不闻不问,不加以正确引导,从而所教学生中滥用计算器的问题比较严重。

其三,命题时不考虑计算器的使用。

目前,学生所用的数学资料、试卷、日常作业中都会发现大量不合适的题目,这些题目在计算器开放的今天已经没有存在的必要了。但有些教师却忽略了这一点,结果往往达不到预期的效果。相反,旨在考察或培养学生使用计算器解决数学问题、探索数学规律的能力的题目少之又少。

以上现象导致了哪些后果?

计算器的使用在一定程度上是对初中数学双基教学的挑战,许多学生的双基是薄弱的,这是以上现象导致的最直接的后果。

学生经常在作业中暴露出以下的一些问题。

分数不约分(对两数之间的关系不敏感)

该近似不近似,不该近似取近似(计算器按惯了,没了感觉)

不知道问题与两数的大小有关(不知道在具体的情境中比较大小)

找不到一串数或一串等式的规律(对所给的数与序号之间的关系不敏感)

应用题中难以发现自己的答案明显不符合实际意义(对数的意义几乎没了感觉)

运算时往往找不到合理的算法(用了计算器最直接危害)

找不到问题中的数量关系(应用题中尤为突出)

……

你看!计算器正在挑战双基发展。

四、使用计算器后如何进行双基教学

计算器要不要进入数学课堂教学?答案显然是肯定的,问题是怎样合理使用。既不能放任自流,也不能简单禁止,而是要正确引导。首先教师自己要明确什么叫做合理使用计算器,其次应鼓励学生用计算器进行探索规律、估算和检验。

1、在双基教学时,应该禁止学生使用计算器

例如,有理数的运算、实数运算、解一元一次方程,合并同类项、乘法公式等入门教学,这是掌握运算法则、培养运算能力、锻炼数感的最佳时机。如果学生一味地用计算器进行运算,基础知识的教学就难以落实,双基教学的目标就难以达到。只要对学生讲清道理,分析利弊,认识危害,学生一定会积极配合,自觉地收起计算器,为打好扎实的运算基础,而进行法则练习。教师在布置作业时,数据尽量简单,方便学生心算。

一天,一个学生的有理数计算作业中,只有答案而没有过程,我找这位同学谈话。

师:你的作业为何只有答案没过程?

生:我用计算器算的,当然没有过程。

师:这样的计算怎么可以用计算器?

生:计算器不是开放了吗,为何不能用?

师:长期这样的话,计算法则就不能掌握。

生:有了计算器,没有法则也无妨。

师:那你就有所不知了!以后我们还要进行字母的运算,没有法则,计算器也无能为力了。

生:这……

经过这次谈话后,该学生以后的作业都写出了计算过程。

2、复杂的计算应让学生使用计算器

曾经有位朋友要我为他孩子作数学辅导,我发现他在计算多位数除法时用笔算,我非常诧异,问道:为何不用计算器?答曰:老师不让用,谁用了就缴谁的计算器。后来经了解,这所中学的数学老师都对学生提出了同样的要求。

初一有理数运算应该禁止使用计算器,但不应该用繁琐的数据为难学生。我认为,用求根公式解一元二次方程、用公式求抛物线的顶点坐标、近似计算、数据繁琐的实数运算等都应鼓励使用计算器。

一次实数运算课中,有这样一道题:

例8.计算[latex](\sqrt{72}-\sqrt{27})\div\sqrt{5}[/latex](精确到0.01)

结果有许多同学先化简成最简形式,再用计算器计算。我就风趣地说:“怎么不直接用计算器计算,怕计算器累着?”学生笑了,他们知道了如何合理使用计算器。

3、加强心算能力

如果学生经常用计算器来计算简单的运算的话,无疑会使计算能力下降、速度减慢。

我在课堂教学时,经常利用各种机会对学生进行合理使用计算器的教育,要求学生多进行心算,经常传授一些简便运算的技巧。我班学生中有28%的人心算能力较强,77%的人简单的计算摆脱了计算器。

4、鼓励学生灵活使用计算器

许多学生只知道用计算器做计算题,其实探求规律、检验、估算等都可以用到计算器。我们再举一例。

例9.化简[latex]1+\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}[/latex]的结果是(    )

A、[latex]\sqrt{2}[/latex]   B、[latex]3-\sqrt{2}[/latex]    C、[latex]2-\sqrt{2}[/latex]    D、[latex]2+\sqrt{2}[/latex]

分析:只要用计算器求出原式的近似值(这个算式计算器只能显示近似值),再用计算器检验四个选项中哪个是正确的。

目前,学生所用的计算器,还有许多没有准确计算无理数的功能,上述方法适用范围就比较广泛。但是,仍有许多人想不到这样做,只能说没有让计算器物尽其用。

5、教师命题时要考虑到计算器的作用

计算器开放以后,原来常用的数学题,可能现在不合适了,达不到命题者的本意。但我们许多教师却不加理会,我行我素,依旧将这些题目放进试卷或练习中。可想而知,效度就大打折扣了。可悲的是,这样的题目在各种教辅材料里太多了。下面例举的数学题已经不适合作为考试题了,因为有了计算器,命题者的意图根本无法落实。

(1)比较下列各数的大小:[latex]3\sqrt{2}[/latex]             [latex]2\sqrt{3}[/latex];cos52°              sin42°(学生不再用性质比较大小)

(2)当a= -1,b=2时,代数式[latex]5(a^2b-ab^2)-(ab^2+3a^2b)[/latex]的值是                   (可以不化简,而直接代入用计算器计算)

(3)已知[latex]\sqrt{13.2}=3.633,\sqrt{1.32}=1.149[/latex],那么[latex]\sqrt{132}=[/latex]              (有了计算器,条件多余)

(4)计算[latex](-2)\times(-\dfrac{3}{8})^2-1\dfrac{7}{9}\div(-2\dfrac{2}{3})^2[/latex](计算器可以准确计算分数、平方根、特殊三角函数等)

(5)用科学计数法表示0.000381=                (计算器有科学计数法表示的功能)

(6)已知[latex]ab=1[/latex],那么[latex]\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}=[/latex]              (可以取[latex]a=2,b=\dfrac{1}{2}[/latex]代入用计算器计算)

等等。

6、教师要关注学生使用计算器的情况

在课堂教学时,是关注学生使用计算器的情况的最佳时候。不该用计算器的时候,数一数有几人用了;该用计算器的时候,数一数有几人没用。

批改作业时也应该关注学生使用计算器的情况,因为作业中可以看出哪些学生很依赖计算器,哪些学生能灵活使用计算器,还有哪些学生该用的时候没用。

学生是否合理使用计算器往往取决于教师的关注程度。当初一新生得知作业、考试都能用计算器,他们几乎到了欣喜若狂的地步,教师就应及早正确引导,坚持不懈地加以关注,相信一定会受到显著的成效。

五、调查问卷

我曾经向全校学生调查过计算器的使用情况,今有《学生使用计算器情况调查问卷》供你下载。

调查结果是:

全校问卷结果(单位:%)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A 45.4 21.5 30.9 14.7 41.3 36.0 71.6 38.1 2.1 40.7 对55.2 对66.0
B 45.3 33.9 49.5 53.7 40.4 28.4 25.1 37.9 33.2 35.1
C 6.4 42.9 14.9 16.1 15.5 12.4 2.4 21.3 59.5 11.7 错44.8 错34.0
D 2.9 1.7 4.7 21.0 2.8 35.1 0.9 2.7 5.2 12.5

从调查问卷的统计结果可以看出以下问题:

  • 20%以上的学生不论怎样简单的计算题都用计算器,可想而知这些学生将丧失计算能力和数感。
  • 近60%的学生计算能力比较低或很低,这些人尽管手里掌握着计算器,但还是经常出错。
  • 只有15%的学生能经常想到用计算器探索规律。
  • 随着年级升高,记不住计算器功能的学生逐渐增多。
  • 从问卷第6题可以看出,学生不清楚什么是不合理使用计算器的做法,选择D的只有35.1%。
  • 有近62%的学生认为不合理使用计算器的人在50%以上。
  • 从11题可以看出,近一半人离开计算器就不会计算,在初二、初三中,只有6.8%的人会用最简便的方法。
  • 从12题看,会用计算器进行无理数运算的人随着年级升高而增多,但是还是有34%的人不会用。 

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