我们知道30°，45°，60°是非常特殊的锐角，它们具有许多性质。不过你是否知道，36°也是一个比较特殊的锐角，它的特别之处可以用“美”来形容。国旗上的五角星的锐角就是36°，正十边形的中心角就是36°，36°的2倍是72°、3倍是108°，72°和108°又是互补的，36°与108°的一半又是互余的……
1、含36°的等腰三角形
如图1，若等腰△ABC的顶角∠A=36°，作底角的平分线BD，那么BD分原三角形得到两个较小的等腰三角形，其中一个和原三角形相似，BC^2=CD{\times}CA，D是AC边的黄金分割点，底边与腰的比是黄金比。
如图2，等腰△ABC的底角∠B=∠C=36°,作∠BAD=36°交BC于D，那么AD分原三角形得到两个较小的等腰三角形，其中一个和原三角形相似，AB^2=BD{\times}BC，D是BC边的黄金分割点，腰与底边的比是黄金比。
2、36°角的尺规作图
如图3，作法是：（1）任作一条线段AC；（2）作AC的黄金分割点D；（3）分别以D、C为圆心、AD长为半径画弧，两弧交于B；（3）连结BC、BD。结论：∠DBC=36°.
证明：连AB即为图1，因为BC^2=AD^2=DC{\times}AC，所以△BDC∽△ABC，∵AB=AC，∴BC=BD，设∠BAC=x°，则∠ABD=∠BAC=∠DBC=x°，∠BDC=∠BCD=2x°，列方程可得x=36°.
3、36°角的三角函数计算
如图4，已知AB=AC，∠A=36°，作高BG，设AC=1，则AD=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，DC=\frac{3-\sqrt{5}}{2}，DG=\frac{3-\sqrt{5}}{4}，AG=\frac{3-\sqrt{5}}{4}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}，所以cos∠A=\frac{AG}{AB}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}。其余三角函数的值同理可求。
4、正五边形的尺规作图
所有正五边形的尺规作图都与36°的性质有关，也就是与黄金分割有关，也就是与\frac{\sqrt{5}-1}{2}有关。
（1）已知正五边形的一边作正五边形
如图5，已知线段AB，作正五边形ABCDE。
作法：①作AB的黄金分割点M；②以A、B为圆心AM为半径画弧，两弧交于H；③以A、B为圆心AB为半径画弧，两弧分别交AH、BH的延长线于C、E；④分别以E、C为圆心AB为半径画弧，两弧交于D. 结论：五边形ABCDE即为所求。
证明过程留给读者（下同）。
（2）已知正五边形的对角线，作正五边形
如图5，已知线段BE，作正五边形ABCDE。
作法：①作BE的黄金分割点H；②以E、B为圆心EH为半径画弧，两弧交于A；③以B为圆心AB为半径画弧，交AH延长线于C；④分别以E、C为圆心AB为半径画弧，两弧交于D. 结论：五边形ABCDE即为所求。
（3）作已知圆的内接正五边形
已知圆O，作圆O的正五边形ABCDE.
作法：①作圆O互相垂直的直径MN和 AP. ② 平分半径ON,得OK=KN. ③以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH即为正五边形的边长. ④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.
我想你一定想到了作已知圆的正十边形的方法了，对！还是靠黄金分割点，作半径的黄金分割点哦。
5、与36°有关的其它问题
（1）将含有108°角的菱形分割成4个等腰三角形
有如下一些分割方法，几乎都与36°、72°有关
我马上就可以仿照上题编一道题：将含有36°角的菱形分割成4个等腰三角形。估计方案不会少。
（2）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝2∠B，由这些条件你能得到哪些线段相等？请证明你的结论。
解：由36°及72°的特点，不难得到两组线段相等：
①AB=BE=CD=AC；②BD=AD=AE=EC.
（3）某装饰公司要在如图9所示的五角星形中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯。若BC=(\sqrt{5}-1)米，则需安装闪光灯（ ）
（Ａ）100盏 （B）101盏 （C）102盏 （D）103盏
解：由BC=\sqrt{5}-1 ，及△ABC是黄金三角形，得AC =2，
∴五角星形的周长为2×10 =20米,∵20÷0.2=100，∴需要安装100盏灯，故应选A.
（4）如图10是巴西FURNAS电力公司的标志及结构图,作者用一大一小两颗星巧妙地重叠组合,自然地把高压输电塔与五角星—这一光明的象征联系在一起，设结构图中的两个阴影三角形的面积S小=S1，S大=S2，那么S1与S2之比为 ( )
（Ａ）\frac{1}{3} （Ｂ）\frac{1}{3} （Ｃ）\frac{\sqrt{5}-1}{2} （Ｄ）\frac{3-\sqrt{5}}{2}
∵△DEC是黄金三角形，∴CE:DE=(\sqrt{5}-1)，即AC:DE=(\sqrt{5}-1) ，
∵△ABC∽△DEC，∴\frac{S_1}{S_2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2} ，故选D。