数学的分析方法──2001届陈海波（初二）

有人说数学是思维的体操。的确，数学是一门非常能锻炼人脑的课程，通过初中数学的学习，我觉得它使我掌握了一种分析问题的方法，使我受益匪浅。

数学分析方法指的是，利用长期学习数学中培养的解题途径，然后通过逻辑思维推理，得出相应的结论。数学的分析方法分为“综合法”与“分析法”两种。

所谓综合法，是指在解题过程中，从已知出发，根据一些性质和定理，一步一步地推理得出新的结论，最后得出问题的结论。俗称“顺向思维”。让我们举例说明。

例1  如图\triangle{ABC}中，\angle{ABC}的角平分线与\angle{ACB}邻补角的平分线交于P，\angle{A}=x^\circ，\angle{P}=y^\circ，试用x的一次式表示y。

分析说明：

根据题目，从条件“\angle{A}=x^\circ”推出\angle{ABC}+\angle{ACB}=180^\circ-x^\circ或\angle{ABC}+x^\circ=\angle{ACD}。

由另一个条件“\angle{ABC}的角平分线与\angle{ACB}邻补角的平分线交于P”推出\angle1=\angle2=\frac{1}{2}\angle{ABC}，\angle3=\angle4=\frac{1}{2}\angle{ACD}。

由此可以得到，\frac{1}{2}\angle{ACD}-\frac{1}{2}\angle{ABC}=\angle4-\angle2=\angle{P}。而开始得出的结论有x= \angle{ACD}-\angle{ABC}。这两个结论就有了联系，从而推出\angle{P}=\frac{1}{2}(\angle{ACD}-\angle{ABC})=\frac{1}{2}x。

所谓分析法，就是在解题过程中，从结论出发，把结论步步倒退，根据逻辑思维的规律性，考虑由什么条件可得出这个结论，直至与已知条件接轨。俗称“逆向思维”。也举例如下。

例2  如图，已知AB//EF，AB=EF，BD=CE，说明\angle{A}=\angle{F}。

分析说明：

根据题目，从问题出发，要说明\angle{A}=\angle{F}，就要说明\triangle{ABC}\cong\triangle{FED}，要说明\triangle{ABC}\cong\triangle{FED}，就要证明三个要素①AB=FE，②BC=ED，③\angle{B}=\angle{E}。其中第①已知，第②就要根据BD=EC说明。

∵BD=EC，∴BD-CD=EC-DC（即BC=ED），第③就要根据AB//EF说明，∴\angle{B}=\angle{E}。通过这样分析再解题，就轻而易举了。

用框图表示这种逆向分析法是：

在这两种方法基础上，又产生了第三种方法，就是两种方法的结合。我们看下面的例子。

例3  如图，AB//DE，BP、EF分别平分\angle{ABC}和\angle{DEC}。求证：BP//EF。

分析方法：

先用分析法。从问题出发，要推出BP//EF，就要推出\angle{1}=\angle{3}。

再用综合法。从已知出发，条件“AB//DE”可推出\angle{CBA}=\angle{CED}，条件“BP、EF分别平分\angle{ABC}和\angle{DEC}”可推出\angle{3}=\angle{4}=\frac{1}{2}\angle{ABC}及\angle{1}=\angle{2}=\frac{1}{2}\angle{DEC}。和分析法联系起来就有\angle{1}=\angle{3}，这样就可以证明了。

用框图表示这种分析方法是：

数学的分析方法有且只有这样3种，不同的题目采用不同的分析方法，其中采用较多的是第三种方法。善于分析的同学，分析问题时常有一条思路，虽然这条思路不见得马上将已知和结论联系起来，但多训练以后，路子越来越宽、越来越多、越来越顺。不善于分析的同学，解题的思路形不成一条线索，只有“蜻蜓点水”，永远提不高分析能力。分析方法是从我们的实践中找到的、积累的。所以，每个同学都可以自己去创造、发现，大胆地去探索，说不定某一天你就成为一个大数学家。

点评：这个学生能关注人的分析过程，这是一个很高的境界！还能将分析过程图示化，更是难能可贵。这篇小论文在我们学校1999年首届学生小论文评比中荣获一等奖。