配方法的应用

很多人知道中医上根据药方要配方，在数学上也有一个概念——配方。配方就是配成完全平方，具体的说就是把一个多项式变形，使它出现一个或几个平方式的过程。

例如公式：a²+b²+c²-ab-bc-ac=\frac{1}{2}[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]就是由配方法得到的（具体的过程见例4）。

下面列举几题说明运用配方法可以解决许多数学计算。

例1    多项式x²-4x+6的值最小是几？

分析：我们来看，x²-4x+4就是一个完全平方式（x-4）²，

∴配方后原式=x²-4x+4+2=(x-2)²+2

而我们又知道，完全平方式的最小值为0。

∴原多项式最小值是2。

这样，由于用运配方法，问题就得到较为简单的解决。

例2    已知x²+y²-x-6y+9.25=0,求x与y的值。

解：因为x²+y²-x-6y+9.25=0

所以配方得：（x²-x+0.25）+（y²-6y+9）=0

(x-0.5)²+(y+3)²=0

∴x-0.5=0, y+3=0

x=0.5，y=-3

由此可见，配方法运用得好不好，取决于完全平方公式掌握得是否熟练。例如上例中，看见x²-x，是否会想到配上一个数0.25。

例3    已知a²+b²=2a-2b-2，则a²+b²=         。

分析：咋一看，题目很难，要求a²+b²就必须先求a-b。我们可以换一个思路，先把已知条件进行变形得：  a²+b²-2a+2b+2=0

然后再进行配方，得：

a²+b²-2a+2b+2 =[a²-2a+(2-1)]+(b²+2b+1)=(a-1)²+(b+1)²=0

∴a-1=0， b+1=0，∴a=1，b=-1，∴原式答案为2

想不到吧？这就是配方的魅力。

例4    已知a-b=3 , b-c=1 ,求a²+b²+c²-ab-bc-ac的值。

分析：我们发现这个算式类似于完全平方式，但是后三项系数是1，这时便无从下手。如果用配方法，便可以很快地解出此题。

解：a²+b²+c²-ab-bc-ac

=\frac{1}{2}（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac）

=\frac{1}{2}[(a²-2ab +b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)]

=\frac{1}{2}[(a²-b²)+( b²-c²)+( a²-c²)]

∵a-b=3①，b-c=1②

①+② 得b-c=4

∴原式=\frac{1}{2}（3²+1²+4²）=\frac{1}{2}•18=9

像以上这样的题目，在中学中还会有许多，不掌握好配方法，在中学的道路上前进是非常困难的。同时也说明配方法是一门重要的“必修课”.

点评：

写这篇小论文的三位学生数学基础不怎么好，平时成绩也较差（通常考70到80分），由于上课能记笔记，平时也积累了一些素材，所以能写出如此漂亮的数学文章。

确实，“配方法”是初中、高中乃至大学数学的重要方法。在初中里，“配方法”在整式运算、因式分解、二次函数以及一元二次方程等方面都有广泛的应用，在分式、根式方面也有应用。宁波城区2005年初升高保送生综合测试数学卷中就有这样一道题：

实数a,b,c满足\sqrt{a-1}+2\sqrt{b-2}+3\sqrt{c-3}=\frac{1}{2}(a+b+c)+4，则a+b-c的值等于           。

解：将已知条件变形,

去分母，得2\sqrt{a-1}+4\sqrt{b-2}+6\sqrt{c-3}=(a+b+c)+8，

移项，得(a-1)-2\sqrt{a-1}+1+(b-2)-4\sqrt{b-2}+4+(c-3)-6\sqrt{c-3}+9=0

配方，得(\sqrt{a-1}-1)^2+(\sqrt{b-2}-2)^2+(\sqrt{c-3}-3)^2=0

所以，可以解得a=2,b=6,c=12。

有一次，我在课堂上出了一道题：

请同学们写出一个含有两个未知数的方程，使它能解出这两个未知数。

当时大家都傻了，因为通常要解两个未知数就要两个方程，而现在只是一个方程，这该是怎样的方程呢？

这个问题留给读者思考。