配方法的应用

很多人知道中医上根据药方要配方,在数学上也有一个概念——配方。配方就是配成完全平方,具体的说就是把一个多项式变形,使它出现一个或几个平方式的过程。

例如公式:a²+b²+c²-ab-bc-ac=\frac{1}{2}[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]就是由配方法得到的(具体的过程见例4)。

下面列举几题说明运用配方法可以解决许多数学计算。

例1    多项式x²-4x+6的值最小是几?

分析:我们来看,x²-4x+4就是一个完全平方式(x-4)²,

∴配方后原式=x²-4x+4+2=(x-2)²+2

而我们又知道,完全平方式的最小值为0。

∴原多项式最小值是2。

这样,由于用运配方法,问题就得到较为简单的解决。

例2    已知x2+y2-x-6y+9.25=0,求x与y的值。

解:因为x2+y2-x-6y+9.25=0

所以配方得:(x2-x+0.25)+(y2-6y+9)=0

(x-0.5)2+(y+3)2=0

∴x-0.5=0, y+3=0

x=0.5,y=-3

由此可见,配方法运用得好不好,取决于完全平方公式掌握得是否熟练。例如上例中,看见x2-x,是否会想到配上一个数0.25。

例3    已知a²+b²=2a-2b-2,则a²+b²=        

分析:咋一看,题目很难,要求a²+b²就必须先求a-b。我们可以换一个思路,先把已知条件进行变形得:  a²+b²-2a+2b+2=0

然后再进行配方,得:

a²+b²-2a+2b+2 =[a²-2a+(2-1)]+(b²+2b+1)=(a-1)²+(b+1)²=0

∴a-1=0, b+1=0,∴a=1,b=-1,∴原式答案为2

想不到吧?这就是配方的魅力。

例4    已知a-b=3 , b-c=1 ,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值。

分析:我们发现这个算式类似于完全平方式,但是后三项系数是1,这时便无从下手。如果用配方法,便可以很快地解出此题。

解:a2+b2+c2-ab-bc-ac

=\frac{1}{2}(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

=\frac{1}{2}[(a2-2ab +b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)]

=\frac{1}{2}[(a2-b2)+( b2-c2)+( a2-c2)]

∵a-b=3①,b-c=1②

①+② 得b-c=4

∴原式=\frac{1}{2}(32+12+42)=\frac{1}{2}•18=9

像以上这样的题目,在中学中还会有许多,不掌握好配方法,在中学的道路上前进是非常困难的。同时也说明配方法是一门重要的“必修课”.

点评:

写这篇小论文的三位学生数学基础不怎么好,平时成绩也较差(通常考70到80分),由于上课能记笔记,平时也积累了一些素材,所以能写出如此漂亮的数学文章。

确实,“配方法”是初中、高中乃至大学数学的重要方法。在初中里,“配方法”在整式运算、因式分解、二次函数以及一元二次方程等方面都有广泛的应用,在分式、根式方面也有应用。宁波城区2005年初升高保送生综合测试数学卷中就有这样一道题:

实数a,b,c满足\sqrt{a-1}+2\sqrt{b-2}+3\sqrt{c-3}=\frac{1}{2}(a+b+c)+4,则a+b-c的值等于          

解:将已知条件变形,

去分母,得2\sqrt{a-1}+4\sqrt{b-2}+6\sqrt{c-3}=(a+b+c)+8

移项,得(a-1)-2\sqrt{a-1}+1+(b-2)-4\sqrt{b-2}+4+(c-3)-6\sqrt{c-3}+9=0

配方,得(\sqrt{a-1}-1)^2+(\sqrt{b-2}-2)^2+(\sqrt{c-3}-3)^2=0

所以,可以解得a=2,b=6,c=12

有一次,我在课堂上出了一道题:

请同学们写出一个含有两个未知数的方程,使它能解出这两个未知数。

当时大家都傻了,因为通常要解两个未知数就要两个方程,而现在只是一个方程,这该是怎样的方程呢?

这个问题留给读者思考。

《配方法的应用》有一个想法

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注