前一篇文章《西姆松定理及其退化形式》中提到了，圆上的点退化成圆外的点，结果发生了许多有趣的现象。如果将这样的做法在下面的问题中进行会怎样呢？
一、一个熟悉的问题
如图，△ABC中，∠A≠60°，在三角形同侧作三个正三角形ABD,ACE,BCF，那么四边形DAEF为平行四边形。
二、问题变式
当点A移动到△FBC的外接圆上时，平行四边形DAEF消失，四点共线了。
所以当△ABC与△FBC同侧时，∠A不能等于60°；当△ABC与△FBC异侧时，∠A不能等于120°.
三、问题拓展
当A点在圆O的同心圆上移动时，情况如何呢？
与前一篇文章比较，何等相似，要的就是这个效果！平行四边形的面积在圆O上移动时面积不变，只有当圆O半径变化时面积才改变。
下面来证明当OA为定值时，平行四边形的面积也是定值。
如图，设△FBC外接圆半径为r，延长BA交EF于G，那么∠FGB=∠DAB=∠FCB，所以点G在圆上，
在△AEG中\dfrac{AE}{sin\angle{AGE}}=\dfrac{AG}{sin\angle{AEG}}，即\dfrac{AE}{sin60^\circ}=\dfrac{AG}{sin\angle{DAE}}，
即AEsin\angle{DAE}=AGsin60^\circ，
所以平行四边形AEFD的面积=
AD\cdot{AE}\cdot{sin\angle{DAE}}=AB\cdot{AG}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}|r^2-OA^2|，
故平行四边形的面积是常量。
四、问题再拓展
当我们以△ABC三边为边向同侧画相似三角形，结果又如何呢？
如图，三个黄色三角形相似（对应关系貌似不轮换），那么四边形ADFE为平行四边形，当F点在△ABC的外接圆的同心圆上转动时，平行四边形的面积为常量。
证明：
由△ABD∽△FBC可证△FBD∽△ABC，从而\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BF}{BC} ；
由△FBC∽EAC，从而\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{BF}{BC} ，∴FD＝AE，同理可证DA＝FE，∴四边形ADFE是平行四边形.
延长BF交AE于G，由∠AGB＝∠DFB＝∠ACB，可得点G在⊙O上，
\dfrac{DF}{sin\angle{DBF}}=\dfrac{BF}{sin\angle{BDF}} ，即\dfrac{DF}{sin\angle{ABC}}=\dfrac{BF}{sin\angle{BAC}} ，
在△EFG中，\dfrac{EF}{sin\angle{FGE}}=\dfrac{EF}{sin\angle{ACB}}=\dfrac{FG}{sin\angle{GEF}} ，
平行四边形ADFE的面积
=DF\cdot{EF}\cdot{sin\angle{DFE}}=DF\cdot{EF}\cdot{sin\angle{GEF}}
=\dfrac{BF}{sin\angle{BAC}}\cdot{sin\angle{ABC}}\cdot{FG}\cdot{sin\angle{FGE}}
=|r^2-OF^2|\dfrac{sin\angle{ABC}sin\angle{ACB}}{sin\angle{BAC}}，
故平行四边形的面积是常量。
推论：当E在⊙O上时，A、D、E、F四点共线
特别鸣谢：
本文和前一篇文章的部分关键的证明，由七中的樊贞惠老师提供，证明的思考过程之艰辛难于言表，特此感谢！