利用函数图象解决数学问题

有许多数学问题，用函数图象解决优于其它方法， 而这恰恰是许多人想不到的。究其原因是缺乏函数思想和数形结合思想。

我相信，当你看完以下题目的解答后，一定会收到启发，利用函数图象解决问题的方法便会成为你有力的工具。

一、函数图象解决方程问题

例1  已知关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m（m>0）的两个解分别是a和b，那么关于x的一元二次方程(x-a)(x-b)+m=0的两个解是什么？

解：构造三个函数如下：

y_1=(x-1)(x-2)，y_2=(x-a)(x-b)，y_3=(x-a)(x-b)+m，前两个函数图象如下：

 

由图可知，函数y_2=(x-a)(x-b)的图象可以看作是函数y_1=(x-1)(x-2)图象向下平移m个单位得到的。

再将函数y_2=(x-a)(x-b)的图象向上平移m个单位就得到y_3=(x-a)(x-b)+m，也就是y_1=(x-1)(x-2)，

所以一元二次方程(x-a)(x-b)+m=0的解就是(x-1)(x-2)=0 的解，即解为x_1=1,x_2=2.

例2  设一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两实根分别为α、β（α<β），则α、β满足（        ）

A、1<α<β<2      B、1<α<2<β      C、α<1<β<2      D、α<1且β>2

解：构造函数y=(x-1)(x-2)，并画出其图象作直线y=m，发现D是对的。

例3  已知关于x的方程-x^2+ax+1=0的一个根大于1而小于2，求a的取值范围。

解：先画出符合条件的函数图象：

由图可知，f(1)>0，f(2)<0，即\begin{cases} -1+a+1>0\\ -4+2a+1<0 \end{cases}

所以0<x<\frac{3}{2}

二、函数图象解决函数问题

例4  一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来，前两个月的利润情况如图所示，该图可以近似地看作抛物线的一部分，其中第x月的利润为y万元，往后y与x满足的关系不变.请结合图象解答下列问题：

公司打算，从月利润下降开始，若后一个月与前一个月利润之差超过11万元，就停止销售该产品，请你预测该产品持续销售的时间.

解：如上右图，根据抛物线的对称性可知，第12月到13月利润刚好下降11万元，所以持续销售时间是13个月。

例5  如图，抛物线y=2x^2-\frac{5}{2}x+a与x轴正半轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴正半轴交于C，且∠OCA=∠OBC，则B点坐标是          （     ）

A、（\frac{1}{4}，0）   B、（4，0）    C、（1，0）  D、（3\sqrt{3}，0）

解：如右图，画出抛物线的对称轴，利用图象的对称性来解。

此抛物线的对称轴是直线x=\frac{5}{8}，如图，利用对称性知，B点的横坐标介于\frac{5}{8}和\frac{5}{4}之间，只有C符合。

例6  已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，试判别代数式a+b的符号。

解：a+b=(a+b+c)-c=f(1)-f(0)，从图象中可见，x=1的函数值比x=0时函数值大，所以a+b>0.

例7  若二次函数y=ax^2+bx+c(a\neq{0}的图象过点（0，1）和（–1，0）且顶点在第一象限，则S=a+b+c的值的变化范围是 （       ）

                        A、0<S <1       B、0 <S <2       C、1 <S <2       D、–1< S< 2

利用函数图象的解法：

S = a + b + c是x=1时函数的值，从图象的变化可以看出，函数y=-x^2+1和y=x+1是变化过程中的两个极端位置，所以，S的值介于0与2之间，所以选B.

三、函数图象解决不等式问题

例8  已知直线y=kx+b过点A(0,2)，且与直线y=mx交于点P(1,m)，则不等式mx>kx+b>mx-2的解是                                       。

分析：用代数方法虽然也可以解决，但甚繁。如果画出如下的图形，就一目了然了。

结果是1<x<2.

例9  已知当x为正数时，不等式ax^2-2x+1>0恒成立，求a的取值范围。

解：如果利用二次函数问题考虑，会发现满足条件的二次函数图形情况很多，不利于解决问题。

如果将函数化为ax-2>-\dfrac{1}{x}再考虑，会画出如下的图象：

我们看到a=1或a=0是两个极端位置，所以当a>1或a<0时ax-2>-\dfrac{1}{x}恒成立。

四、函数图象解决其它问题

例10  如图，矩形OABC中，O是坐标原点，A,C在坐标轴上，B在双曲线y=\dfrac{12}{x}上，用尺规作OA,OC的比例中项。

解：作∠AOC的角平分线，交双曲线于D，过D作x轴垂线DE，垂足为E，那么DE即为所求的线段。

例11  如图，抛物线y=ax^2和抛物线y=bx^2(b<a)在同一坐标系中，A,B,C三点在抛物线y=ax^2上，请只用直尺画一个△DEF，使△DEF∽△ABC，且\dfrac{S_{\triangle{ABC}}}{S_{\triangle{{D}EF}}}=\dfrac{b^2}{a^2}.

解：如下图△DEF即为所求的三角形。

证明：过A,D作x轴的垂线，垂足是A’和D’，那么△AA’O△DD’O，所以\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OA'}{OD'}=\dfrac{AA'}{DD'}，设A,D的横坐标分别为m、n，即\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{m}{n}=\dfrac{am^2}{bn^2}，

故\dfrac{m}{n}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{OA}{OD}，同理\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OE}=\dfrac{OC}{OF}=\dfrac{b}{a}，

所以，由位似知识可得△DEF∽△ABC，且\dfrac{S_{\triangle{ABC}}}{S_{\triangle{{D}EF}}}=\dfrac{b^2}{a^2}.