万物都是运动的，自然界的许多客观规律是通过运动方式显示出来的，运动使世界变得丰富多彩。小至电子电荷，大至宇宙空间，所有运动的物体无一不可以看作点线面体的几何元素，所有的运动无一不可以看作几何图形的位置变化。所以用运动思想研究几何图形，用运动的方法讨论数学问题，是我们数学教学的重要任务。
然而使我们担忧的是现在的很多学生缺乏运动思想，在他们看来画在纸上的图形都是“死”的，都是一成不变的，解决问题时根本没想到对某些元素进行运动变化，结果图形之间的内在联系发现不了，一些变化规律无法显示出来，于是问题就难以得到解决。
一次在初三总复习中有这样一道练习题：
例1 如图1，⊙O的半径为1，P在⊙O外，PO=\sqrt{5}，PAB为割线，BC为直径，设PA=x，PB=y。（1）求y关于x的函数解析式，并求自变量x的取值范围。（2）当PA=AB时求CD的长。
很多学生不会求自变量的取值范围，他们不知如何列出不等式（学生们习惯于列不等式求自变量的取值范围），于是无从下手。
事实上将BC看作定圆O中的定直径，而P是动点。因PO=\sqrt{5}，故P只能在以O为圆心、\sqrt{5}为半径的圆上运动，割线PAB的位置随着P点的移动而变化。当PAB为切线时PA=2，所以x＜2。当PAB通过圆心O时PA=\sqrt{5}-1，所以x≥\sqrt{5}-1。
于是x的取值范围是\sqrt{5}-1≤x＜2。
当我把这个运用运动思想解决问题的方法介绍给学生后，学生们对这种思想方法很感兴趣。但我却忧心忡忡，这种思想平时教学中灌输得不少，为何学生总是想不到呢？后来分析其原因有这么几点：
1、缺乏运动观念，难以形成运动思想
改变这种状况的关键是让学生比较系统地接受这方面的训练，在初三总复习时这种训练是可行的。让学生比较用运动方法解题与列不等式解题的优劣，从而更新思维方式，更新数学观念，强化数学思想。
2、虽有运动思想，但难以确定动元素和定元素
这实际上与审题大有关系。教师平时教学中多强调动元素与定元素是很有帮助的。如上例中我们还可以将P看成定圆O外的一定点，而直径BC看成是动线段，问题也可以得到解决。
3、运动时元素间的关系难以想象
这是缺乏空间想象能力的表现。要将画在纸上的“死” 图“活”起来，要有较强的想象能力。锻炼这种能力的方法有两种，其一利用几何画板软件制作成多媒体课件。如上例中的图形若放在几何画板中，则运动自如，PA的长度变化规律显而易见。经常让学生观察“活”的图形，能使他们面对“死”的图形展开想象的翅膀。其二是建模，这里的“建模”与通常说的建模思想中的“建模”不同。如上例中可以想象有这么一个模型：用铁丝做成的⊙O中有一条固定的直径BC（BO=1），用长\sqrt{5}的铁丝做成PO（能绕O转动），PC、PB是用橡皮筋做的，当转动PO时，想象PB与⊙O的交点A与P的距离的变化情况。这种把几何问题想象成一个实物模型的过程便是建模。
下面通过分类讲述来谈谈运动思想是怎样帮助我们解决数学问题的，我们应该如何在教学中渗透这种思想。
一、定值探求
不少数学问题是在诸多变量存在情况下，探求定值或求定值的大小。我们可以运动其中的动点到不同的位置，观察其变化情况，也可以运动至最特殊的位置来求定值的大小。
例2 如图2，矩形ABCD中，AB=15，BC=20，表示点P到AC、BD的距离的线段是PM、PN。（1）若P在BC上移动，则PM+PN的大小是否改变？（2）若P在矩形边界上移动时PM+PN的大小也不变吗？（3）若P在DC的延长线移动，PM+PN还不变吗？
分析：（1）将P点移动至C、B及BC的中点，发现PM+PN都等于C到BD的距离12。于是我们有理由猜想PM+PN是定值，且这个定值等于12。
（2）仿（1）。
（3）当P在DC延长线移动越来越远离C点时，PM与PN都越来越大（如图3），故回答是否定的。如果更深入研究可发现，PN–PM是定值。
二、最值问题
许多最值问题往往可以用二次函数来解决。但如果考虑运动思想，可以收到事半功倍的效果。
例3 如图4，Rt△ABC中，∠C=Rt∠,AC=8,BC=6,D在AB上，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。问矩形DECF的面积是否有最大值或最小值？如果有的话，D在何处？面积为多少？
分析：设想D在AB上由A点开始向B点移动(A、B两点虽不能到达，但暂且当作极端点)，矩形的面积随之由0逐渐变大，以后又逐渐变小，最后又变为0。我们不难猜想矩形的面积是某一变量的二次函数（在初中阶段只有二次函数才具有这样性质），而且有最大值，根据二次函数图象的对称性，当D在AB中点时面积最大。因为此时DE、DF为中位线，故最大面积为12。
例4 如图5，正方形ABCD中AD=2，E在AD上，F在AB上，G在DC上，且AF=ED，DG=AE，问五边形EFBCG的面积是否有最大值或最小值？如果有的话，此时E在AD何处？面积是多少？
分析：仿照上例，让E自A向D移动，发现五边形的面积从大变小，再由小变大。可估计当E在AD中点时面积最小，最小面积为2×2-1×1÷2×2=3。
三、取值范围
由于一点运动而产生许多变量，其中得到的函数问题称为动点函数（如例1）。这类问题中求自变量取值范围时，许多学生常用不等式来解决。其实运动思想是解决这类问题的首选思想。
例5 如图6，等腰梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，AD=6，AB=10，优弧AD与两腰分别切于A、D，P在BC上，AP=x，DE=y。
（1）求y关于x的函数关系式；（2）求x的取值范围；
（3）求y的最大值。
分析：（1）可由⊿ABP∽⊿DEA，得y=\frac{60}{x}。
（2）将P点由B点运动至C点，把AP想象成橡皮筋（梯形及弧用铁丝做成），运动时可发现AP与AH重合时橡皮筋最松（AP最小）；AP与AC重合时橡皮筋最紧（AP最大）。而经验不足的学生会说AP与AB重合时最小。
∴AH≤x≤AC，经计算AH=5\sqrt{3}，AC=14，∴5\sqrt{3}≤X≤14。
（3）当AP⊥AD时DE为直径，圆中的弦以直径为最大，
故当x=5\sqrt{3}时，y最大值=\frac{60}{5\sqrt{3}}=4\sqrt{3}。
如果将（3）的问题改为求弧所在的圆的直径的话，可能做得出的学生就更少了。
四、动点轨迹
求点的轨迹（运动时留下的痕迹）常有两种方法。一种是发现动点满足的条件，并判断这个条件符合哪个轨迹定理，从而求得点的轨迹。另一种是在很难判断符合哪个轨迹定理的情况下，将动点按题设条件进行运动，然后观察其形成的轨迹进行猜想（当然最后还得证明）。
例6 已知△ABC，一动圆O与AB、AC都相切，且⊙O上各点都不在△ABC外，则点O的轨迹（运动时留下的痕迹）是___________。
我测试过许多学生，对解决本题都感到困难。但有运动思想的学生会通过对动圆的运动（如图7），不难判断点O的轨迹是△ABC的内心与点A的连线（A点除外）。
我们说现在的学生缺乏创新思维的理由就在这里。他们会做熟悉的题，但不会做陌生的题。所以我们培养学生的运动思想，实际上就是培养他们的创新能力，使他们掌握更多的分析问题和解决问题的方法，从题海中跳出来。
五、判断错误
不少选择题用排除法来解会显得简捷。但要排除错误才能选择正确的答案。有不少学生得出了错误结论自己浑然不知，这是因为缺乏判断错误的能力。用动态方法来判断错误是一种较为精妙的方法。
例7 如图8，用半径为r的两根钢棒嵌在大型工件的两侧，以测量大型工件的半径R。量得两钢棒的圆心距为2d。则R等于 （ ）
A、\frac{d^2}{4r} B、\frac{d^2}{4r^2} C、\frac{d^2}{r+d} D、\frac{r^2}{r+d}
这道题用直接解法来寻找正确答案也不难。但使用排除法会收到意想不到的效果。
首先排除B，因为B是无单位的量。再来考虑C，从图上看，当d为定值，r逐渐变小时，大型工件的半径会越来越大（无限变大）。但从式子 来看，当r变小时其值不会无限变大（最大才等于d）。故排除C。同样当r为定值，d逐渐变小时R应无限变小。而D的答案不具备这个特点，应排除D。所以选A。
d或r变小的过程，实际上就是一个动态的过程，就是一个运动的过程。没有一定想象能力的人是做不到的。所以用运动思想考虑问题一定会更有效地培养人的想象能力。
例8 如图9，P在直径AB上，∠1=∠2，试判断哪些线段相等？
对大多数同学来说，是不会发生什么错误的。但少数同学容易得出AP=GB的错误，因为他们判断线段相不相等，不是从本质上去判断，而是从图形的外观上去判断，看上去像相等那就一定相等了。
教师只要用运动思想启发学生，将直径AB及AB上点P看作定元素，使弦EF、CD绕P转动（保持∠1=∠2），那么AP为定长，而BG却是变量。于是在一般情况下AP≠BG（特殊情况时也可能刚巧相等）。
例9 如图10，弦CD、EF均垂直弦AB，且三等分AB，则 （ ）
A、\stackrel\frown{AD}=\stackrel\frown{DF}=\stackrel\frown{FB} B、\stackrel\frown{AD}=\stackrel\frown{FB}＜\stackrel\frown{DF} C、\stackrel\frown{AD}=\stackrel\frown{BF}＞\stackrel\frown{DF} D、以上均不对
分析：从眼前的图形来看，A、B、C都有点像。但用运动方法将AB向上平移时，AD、BF迅速增加，而DF增加速度不大（AB运动时CD、EF也随之运动），并且平移至上半圆时DF反而减小了，可见应选C。
六、探求多解
不少数学问题用运动思想探求多解，要比代数方法优越得多。在运动过程中会发现满足条件的位置不止一处，多解就探求出来了。
例10 如图11，A、B、C、D是半径为8的⊙O上四个点，且这个四点构成等腰梯形， AB=DC=10。
（1）则等腰梯形的面积的值是（ ）
A、唯一的 B、有且只有二个 C、有且只有四个 D、有无数个
（2）若AB固定，弦CD的两端点可以在圆上滑动，则CD不能到达的位置有（ ）
A、一种 B、二种 C、四种 D、无数种
解：（1）将AB固定，DC看作一根棒，AD、BC看作橡皮筋，运动CD，发现梯形的大小改变。所以选D。（2）与（1）同法建模，移动CD时有如图12的四种位置不能到达。所以应该选C。
例11 等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/秒的速度运动，当P运动到PA与腰垂直的位置，求P点运动的时间。
多数学生是用画图的方法，画出一条与腰垂直的线段AP（如图13），然后进行计算。这样必定遗解。如果观察P从B至C移动的全过程，便会发现有两处的位置满足题设。正确的答案为7cm或25cm。
例12 已知直线y=kx+b过点P（1，–2），且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求其解析式。
分析：本题若用代数方法求，甚是烦琐。若设想有一直棒绕P（1，–2）旋转，看有几种位置满足条件，然后把这些位置一一画出来(如图14)，必定能收到事半功倍的效果。通过运动发现本问题有两解y=x–3和y=–x–1。
七、存在性研究
在几何问题中是否有这样位置的元素，使它满足一定条件。这类问题叫做几何中的存在性问题。解决这类问题的方法很多，用运动观察法不失为一种好方法。
例13 A城气象站测得台风中心在A城正西方300km的B处，以每小时 km的速度向北偏东60°的方向运动，距台风中心200km的范围是受台风影响的区域。
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，问影响的时间有多长？
分析：如图15按题意画出图形。AB=300km，∠FBM=30°，⊙O的半径为200km。现设想⊙O的圆心O沿着BF方向移动，如果在移动过程中点A能落在⊙O内，则A城会受到台风影响。事实上A至BF的距离AC=150km小于200km，故一定会影响。为了解决第二个问题，可图按16画出半径为200km的⊙A。当台风中心O进入⊙A内A城便开始受到台风的影响。所以求影响时间的关键是在求⊙A在BF上截得的弦DE的长。
运动使我们看清问题的本质，运动使我们避免盲目的猜想。但这里有一个是不是善于运动的问题，如上例（1）中运动的对象是⊙O，（2）中运动的对象却是点O。（1）中的圆是动圆，（2）中的圆是定圆。不善于联系实际的人是难以想象的，没有灵活应变能力的人也难以想象的。
例14 是否存在m的值，使直线y=mx+4、直线x=1、直线x=4及x轴围成的直角梯形的面积为7？为什么？
分析这类问题的一般思路是先画图，后运动。看看直角梯形会出现在怎样的位置上。如图17，因直线y=mx+4始终过点A（0，4），故可将这条直线绕点A旋转，会在x轴的上下方各出现一个直角梯形。倘若⊿MBC（或⊿BCN）的面积小于7，m的值就存在，反之m的值就不存在.
事实上S△BCN＞7，S△BCM＜7，故知m的值是唯一存在的。
解题时先求出D（1，m+4），E（4，4m+4）。于是DB=m+4，EC=4m+4，BC=3。由题意，得\frac{3}{2} (m+4+4m+4)=7，m=-\frac{2}{3}。
八、探索型问题
探索型问题包括结论探索、条件探索、方法探索等。不少问题的探索是以运动作为先导，从运动中去发现规律，去猜想结论，从而探索出问题的结果。
例15 如图18，⊿ABC中B、C固定，A为动点。以AB、AC为边向形外作正方形ABDE及AFGC。过D、G向直线BC作垂线，垂足为H、P。
（1） HB和CP是否相等？
（2） DH+GP是否为定值？
（3） DG的中点O是否为定点？
分析：
（1）当A运动到BC的中垂线时，结论是肯定的。当A运动到∠ABC=30°时，可通过计算得出肯定的结论。当∠ABC=90°或∠ACB=90°时，可通过简单的证明来肯定结论。于是可猜想HB=CP！证明时可作△ABC的高线AQ，利用全等三角形来证明HB=AQ=CP。
值得注意的是当A运动使∠ACB为钝角时，结论仍然成立（如图19）。
（2）当（1）的结论作肯定的问答并得到证明后，容易发现DH=BQ，GP=QC，故DH+GP=BC，好像是定值。
但当点G在直线BC的另一侧时（如图19），DH+GP=BQ+QC是一个变量，所以不是定值。
（3）在几何画板上的动态显示表明，O点确实是一个定点。在图18中我们作OM⊥BC于M，则M是HP的中点也是BC的中点，且OM=\frac{1}{2}(DH+GP)=\frac{1}{2}BC，这说明点O是定点。
在图19中也作OM⊥BC于M，则有O为HP的中点，因HB=CP，故O为BC的中点，连PO并延长交DH于N，则OM是⊿HPN的中位线，OM=\frac{1}{2}(DH-GP)=\frac{1}{2}BC，同样可以说明点O为定点。
在上例各问题的探索中，如果不借助于运动是难以想象的。其中几何画板是一个好帮手。
通过以上18个例子，我们不难看到运动思想是如何解决数学问题的，“死”的图形是如何“活”起来的，模型是怎样想象出来的。我们可以说是不是善于用运动思想观察问题解决问题，是区分是不是具备分析问题和解决问题能力的重要标志。我们不难看出，培养学生的运动思想实际上是培养了他们的多种能力，除了想象能力外还有画图能力、审题能力等。要运动必先有图形，要画出正确的图形必先仔细审题。运动思想是把静止观点发生了质的飞跃，当学生有了这个飞跃后，他看问题的角度就与众不同，解决问题的方法也就层出不穷。
在众多数学思想中运动思想最容易受到冷落，这是因为许多人不重视运动思想，不习惯运用这种思想，甚至根本没有这种思想。虽然在教学中我比较重视渗透这个重要的数学思想，但使我困惑的是仍有一部分学生很难具备运动思想，他们常说想不到，是不是教学方法还不够好？有待于我进一步研究和探索。