在《经典数学难题集锦1》里已经收集了18道难题，现在再给大家展示几题，一起共享。
例19
如图，AB是⊙O的直径，C在圆外，D在圆上，AD∥CO，CB⊥AB，DE⊥AB于E，AC交DE于F，求证：EF=FD。
解：如图，延长AD、BC交于G，易证OC是△ABG的中位线，所以BC=CG，因为ED∥BG，由比例线段可以证明EF=ED。
例20
如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A是锐角，找一点P，使△PAB、△PAC、△PBC均为等腰三角形，这样的点P共有几种不同的位置？
解：如图，一共有6种。
例21
如图，\triangle{ABC}\sim\triangle{AEF}，其中∠BAC=∠FAC，∠BCA=∠AFE。求证：AB×CF=AC×BE。
解：由已知，得\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}，加上条件∠BAC=∠FAC，得\triangle{ABE}\sim\triangle{ACF}，所以\frac{BE}{CF}=\frac{AE}{AF}，等量代换后得\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CF}，即AB×CF=AC×BE。
例22
如图正方形ABCD中，∠B'AD'=90°，交正方形的边或延长线于B',D'，∠CB'D'的平分线交AC于E，EF⊥B'D'于F，求证：BC-EF=\frac{1}{2}B'D'.
解：如图，作EG⊥BC于G,EH⊥CD于H，易证BB'=DD',EG=EH=EF,B'G=B'F,D'F=D'H，所以2BC=BC+DC=B'C+D'C=B'D'+2CH=B'D'+2EF，
故2BC-2EF=B'D'，即BC-EF=\frac{1}{2}B'D'.
顺便一提：我们还能证明P是B'D'的中点，BG=B'P。
例23
已知实数a、b、c满足a+b+c=0，且a>b>c，求\frac{a}{c}的取值范围。
解：由已知a>0，c<0.对b进行分类讨论。
当b>0时，设a=nb（n>1），则\frac{a}{c}=\frac{-b-c}{c}=-\frac{b}{c}-1
因为-c=a+b=(n+1)b，所以\frac{a}{c}=\frac{1}{n+1}-1
因为n>1，故-1<\frac{a}{c}<-\frac{1}{2}.
当b<0时，设c=nb（n>1），则\frac{a}{c}=-\frac{b}{c}-1=-\frac{1}{n}-1
因为n>1，故-2<\frac{a}{c}<-1.
当b=0时，a=-c，故\frac{a}{c}=-1.
综上所述：-2<\frac{a}{c}<-\frac{1}{2}.
另一种方法：
设\frac{a}{c}=k,则a=ck,b=-(k+1)c,代入已知得ck>-(k+1)c>c,注意到c<0,
可解得-2<k<-\frac{1}{2},即-2<\frac{a}{c}<-\frac{1}{2}.
例24
设△ABC中，CD、BE分别是角平分线，CD=BE，证明：△ABC是等腰三角形。
证明： 作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC，
∵BE=DC，∴△BEF≌△DCB，BF=BD，∠BDC=∠EBF，
设∠ABE=∠EBC=α，∠ACD=∠DCB=β，
∴∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF，
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°，∴∠FBC=∠CEF>90°，
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;∠HEF=∠CBG;
∵BC=E，∴Rt△CGB≌Rt△FHE，∴CG=FH,BG=HE，连接CF
∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC，
∴FG=CH，∴BF=CE，∴CE=BD，
∵BD=CE，BC=CB，∴△BDC≌△CEB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC。
解法二：
如图，作平行四边形DBEF，连FC，用反证法如下：
假设AB<AC，∠ABE=∠EBC=∠DFE=α，∠ACD=∠DCB=β，则α>β，
∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠1<∠2，∴BD=EF>EC，
另一方面，在△BCD和△CDE中，有两边对应相等，则夹角大的对边也大，
可知EC>BD，这与BD>EC矛盾，∴AB<AC错误，同理AB>AC也错误。故AB=AC。
例25
如图，△ABC中，∠BAC=2∠BCA，D在三角形内，DA=DC，BD=BA，求证：∠ABC=3∠DBC。
证明：
如图，作B的对称点B’，则BC平分∠B’CA，
∵BB’∥AC，∴∠B’BC=∠BCA=∠BCB’，
∴BB’=B’C=AB=BD，故△BB’D为正三角形。
设∠BCA=∠B’BC=α，则∠DBC=60-α，∠ABC=180-3α,
故∠ABC=3∠DBC。
备注：
1、本题是下面这道题的拓展
已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，D在三角形内，DA=DC，BD=BA，求∠DBC的度数。
解题方法是补全一个正方形。
2、本题还有一个结论：∠BCD=30°。
3、点D不一定在三角形内，也可以在AC的下方，结论依然成立。
例26
如图，△ABC中，O是形内一点，OB=OC，射线CO,BO分别交AB,AC于D,E，且AD=AE。求证：△ABE≌△ACD。
证明：
如图，作平行四边形DBEF，连FC、DE，为了证明AB=AC，用反证法如下：
假设AB<AC，∠ABE=∠DFE=α，∠ACD=β，∠OBC=∠OCB=γ，则α+γ>β+γ，α>β，
∵AD=AE，∴EF=BD<EC，∴∠1>∠2，∴∠DFC>∠DCF，∴DC>DF=BE，
故OD>OE，∠OED>∠ODE，即∠OEA>∠ODA，
∵∠OEA=β+2γ，∠ODA=α+2γ，∴β+2γ>α+2γ，即β>α，这与α>β矛盾，其余不难证明。
例27
如图，△ABC中，AB=AC，D、E在AC、AB上，且AD=DE=EB=BC，求∠A的度数。
解：作∠ABC的角平分线BF，连EF、BD，易证△BCF≌△BEF，设∠A=∠AED=x度，则∠EDC=2x，∠EDB=∠EBD=x/2，
于是可证∠FEB=∠C=∠FED=90-x/2，∴△DEF≌△BEF，∴∠DFE=60度，故∠A=20度。
例28
如图，六边形ABCDEF中，6条边均相等，∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F，求证：∠B=∠E。
证明：
将黄色三角形、绿色三角形和蓝色三角形拼到一起，组成△AEP，易证F是△AEP的外心，且△ACE≌△EPA。
设O是△ACE的外心，则得三个菱形AOCB,COED,EOAF，这样就不难证明∠B=∠E。