如果三角形的三个角的度数都是10的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后，得到的所有的角也都是10的倍数，我们称这样的点为三角形中的格点．求解三角形中的格点问题，常可利用对称点．利用对称点求解三角形中的格点问题，方法简单易行，解法简洁巧妙，题面新颖有趣，是学生巩固知识，培养能力，陶冶情操，提高素质的宝贵资料．
证明角格点的方法是作轴对称图形，即构造轴对称的全等三角形。
例1 在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝20°，M为∠ACB的平分线上一点，∠MBC＝20°．求∠MAB的度数．
解：如图，设∠MBA的平分线交AC于D，连DM．显然，BM平分∠DBC，而CM平分∠DCB，即M为△DBC的内心．可知∠MDB＝∠MDC＝60°．有∠ADB＝60°＝∠MDB．故点A与点M关于BD对称．则∠MAB＝90°－∠DBA＝70°．
这里证得“点A与点M关于BD对称”是问题的关键。
例2 如图， 已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=80，点D是△ABC内一点，且∠CBD=10°，∠ADC=20°，求∠ADB的度数．
解法1：把△BDC沿直线CD作轴对称变换至△EDC．则∠ECB=2∠BCD=60°，EC=BC，∴△BCE是正三角形，又∵ AB=AC，∴直线AE是△EBC、△ABC的对称轴，∴∠AEC=∠AEB=30°=∠ECD，∴易证△AEC≌△DCE，即四边形ADCE为等腰梯形，∴∠ADC=150°，又∠BDC=140°，∴∠ADB=70°．
解法2：作BC边的高AH，延长CD交AH于点F，连结BF．∵ AB=AC，∴AH是△ABC的对称轴，∴FB=FC，∵∠BCF=30°=∠FBC，∴∠BFD=120°=∠BFA，∠BDF=40°=∠BAF，BF=BF，∴△AFB≌△DFB，∴FA=FD，∠ADF=30°，∴∠ADB=70°．
解法3：延长CD交AB于G．由题知∠CGA=∠CAG=80°，∠GBD=∠GDB=40°，∴CG=CA=AB，GD=GB，∴CD=AG，以CD为底边构造等腰△PCD，使PC=PD=AC，且P、A在直线CD同侧，∴∠PCD=∠PDC=80°，∠CPD=∠ACG=20°，∴∠PCA=60°，△PAC是等边三角形，∠APD=40°，∠PDA=70°，∴∠ADC=150°，∠ADP=70°=∠ADB.
解法4：如图，作正三角形ABE连结EC,ED，易证BD=BE=AB，故∠ADB=(180-40)÷2=70°。
例3 如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形内一点，∠1=40°，∠2=30°，∠3=20°，
（1）求∠4的度数；
（2）求证：AP=BP+CP。
解：（1）作高AD，作点P关于AD的轴对称点E，作点P关于AB轴对称点F，易证PE=CE=PB，△PBF为正三角形，F,P,C共线，△AFP≌△APE，∴以A为顶点的每个最小的角都为10°，即∠4=10°；
（2）显然∠FAC=∠FCA=50°，AP=FA=FC=FP+CP=BP+CP.
例4 如图，AB=AC，∠A=20°，点D在AB上，AD=BC，求∠BDC的度数。
解法1：作正三角形ACE，连DE，这样△ADE≌△ABC，于是△ADE和△DCE均为等腰三角形，且顶角为20°和40°，于是不难求出∠BDC=30°．
解法2：作正三角形BCE，不难证明△CEA≌△ADC，于是不难求出∠BDC=30°．
解法3：作△ABC的角平分线CE，在AC上取点F使CF=CB，在AB上取点D’使D’F=FC，不难证明AD’=BC=AD，即D’与D重合，从而可以计算∠BDC=30°．
解法4：作正三角形BCC’，连DC’，不难证明四边形ADC’C是等腰梯形，所以C’D=C’B=C’C，即C’是△DBC的外心，所以∠BDC=∠BC’C÷2=30°．
例5 在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝30°，Q为形内一点，∠QBA＝∠QCA＝20°．求∠QAB的度数．
解：如图，设BQ交AC于D，过点D作BC的垂线交QC于Ｅ．连BE．
由∠QBC＝30°＝∠ACB，可知DE为BC的中垂线．由∠QCB＝10°，可知∠EBC＝10°，∠QBE＝20°＝∠QBA．
由∠EDB＝60°＝∠EDC，可知∠BDA＝60°＝∠BDE．有点A与点E关于BD对称． 则∠QAB＝∠QEB ＝∠EBC＋∠ECB＝20°．
这里注意到BQ是∠AQC的平分线，故想到在QC上取点E，使∠EQB＝∠ABQ，则点E为点A关于BQ的对称点．为此想到满足条件的点E，恰为BC中垂线与QC的交点。又由∠QBC＝30°＝∠ACB，想到BQ与AC的交点D应为BC中垂线上的另一点．于是，我们选择了如上的方法找到点A关于BQ的对称点E．
例6 在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝30°，Q为形内一点，∠QCA＝∠QAB＝20°．求∠QBC的度数．
解：如图，设BC的中垂线分别交BA、AC于D、E，F为垂足．连QE、BE、DC．
由∠ACD＝20°＝∠ACQ，∠DAC＝80°＝∠QAC，可知点D与点Q关于AC对称．有 ∠AEQ＝∠AED＝∠FEC＝60°．
由∠BEF＝∠FEC＝60°，可知∠AEB＝60°＝∠AEQ．有B、Q、E三点共线． 则∠QBC＝∠EBC＝30°．
这里注意到AC是△AQB的∠QAB的外角平分线（这一点并不引人注目），在BA延长线上取一点D，使DA＝QA，则点D为点Q关于AC的对称点．为此我们通过BC的中垂线，把∠ABC“翻折”到∠DCB的位置，是非常恰当的．
例7 如图△ABC中，∠C=90°，D,E分别在AC,BC上，∠CAE=20°，∠EAB=30°，∠CBD=10°，求∠DEA的度数。
解：沿BC反射△BCD，得到△BCG，连结GE,GF，
易证GF平分∠AGB，∴∠1=∠2=∠3=60°，∠4=2∠5=2∠6=40°，
则E为△BFG的内心，∴△DEG为正三角形，
∴∠CED=30°，∵∠CEA=70°，∴∠DEA=40°。