又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
一、证明
已知AB=p，点C是一个动点，常数k≠1，且满足CA:CB=k，求证点C的轨迹是一个圆。
证明1：坐标法
设点A（0，0），点B（p，0），点C（x，y），由\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x-p)^2+y^2}}=k，变形后即得圆方程。
证明2：几何法
要使CA:CB=k，一定在直线AB上存在一点O，使△OCB∽△OAC，这时\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{OC}{OB}=k，且OC^2=OB\times{OA}，设OB=a，则OC=ka，
∴ka^2=a(a+p)，a=\dfrac{p}{k^2-1}，于是可以确定点O的位置，且OC为ka（常量），∴点C的轨迹是圆。
二、应用
例1 在△ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c，c=2，b=2a，则三角形面积的最大值是 。
解：运用证明2的结论，由于p=2，k=2，∴a=\dfrac{2}{2^2-1}=\dfrac{2}{3}，
∴圆的半径为\dfrac{4}{3}，∴当OC⊥AB时，面积最大，S最大值=\dfrac{4}{3}。
三、阿氏圆的逆命题
如上图，点B是定点，当点C在定圆O上运动时，必存在一个定点A，使得AC=kBC（k为常数，k≠1）始终成立。
说明：点A一定在直线OB上，且满足OC^2=OB\times{OA}。
四、逆命题的应用
例2 如图，在直角坐标系中，已知点A（0,4），B（-4,0），C（2,0）。过A,B,C作外接圆，D为圆上一个动点，求\sqrt{5}DO+DA的最小值。
解：易求圆心M(-1,1)，在直线MO上取一点F，使F的坐标为（4，-4），则MD^2=MO\times{MF}。
所以△MOD∽△MDF，则当点D移动时DF=\sqrt{5}DO，
故\sqrt{5}DO+DA=AD+DF≥AF=4\sqrt{5}。