叶中豪提出了如下几何问题：
如图，H是△ABC的垂心，直线a是任意的一条直线，直线a_1、a_2、a_3是直线a关于BC、AC、AB轴对称直线。三条对称直线围成△DEF。
（1）何时D、E、F共点？实验发现直线a过H时共点。
（2）△DEF的面积由H到a的距离决定。
（3）△DEF的内心P在△ABC的外接圆上。
（4）当直线a位置变化时，△DEF的形状不变。
七中樊贞惠给出了如下的命题及解答。
命题1：
如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线a_1、a_2、a_3是直线a关于BC,AC,AB轴对称直线，三条直线分别交于D、E、F，P是△DEF的内心.求证：P在⊙O上.
证明：在△DMN中，A是△DMN的旁心，
∴AD是∠MDN的角平分线，∴直线AD经过点P，且∠EDF＝180°－2A.
同理可证，CE是∠DEF的角平分线，即直线CE经过点P，∠DEF＝180°－2C.
∠DPC＝90°－∠A＋90°－∠C＝∠B，∴点P在⊙O上.
顺便可得，∠DFE＝180°－2B.
命题2
如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线a、a_3关于AB对称，直线a、a_2关于AC对称，a_3、a_2交于点D，直线AD交⊙O于P，H是△ABC的垂心，a交AH于L. 求证：DL∥PH.
证明：作AG⊥a_3于G，设∠BMD＝α，由上题可知，∠ADG＝∠ADN＝90°－A，
可证∠GAD＝∠A，∴∠MAG＝∠PAC＝90°－α，
则∠ALM＝180°－(α＋90°－B)＝90°－α＋B＝∠ABP.
在△ADM中，\dfrac{AD}{sin\alpha}=\dfrac{AM}{sin(90-A)}，在△AML中，\dfrac{AL}{sin\alpha}=\dfrac{AM}{sin\angle{ALM}}，
∴\dfrac{AL}{AD}=\dfrac{sin(90-A)}{sin\angle{ALM}}，
在△ABH中，\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{AH}{sin(90-A)}，在△ABP中，\dfrac{AB}{sinC}=\dfrac{AP}{sin\angle{ABP}}，
∴\dfrac{AH}{AP}=\dfrac{sin(90-A)}{sin\angle{ABP}}，
∴\dfrac{AL}{AD}=\dfrac{AH}{AP}，∴DL∥PH.
命题3
如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线a、a_3关于AB对称，直线a、a_2关于AC对称，a_3、a_2交于点D，直线AD交⊙O于P，H是△ABC的垂心，a交AH于L. HQ⊥a于Q，PK⊥a_3于K.求证：HQ＝PK；HQ＝DP·cosA.
证明：作AG⊥a_3于G，AR⊥a于R，可得\dfrac{HQ}{AR}=\dfrac{HL}{AL} ，\dfrac{PK}{AG}=\dfrac{DP}{AD}，
由上题结论，\dfrac{HL}{AL}=\dfrac{DP}{AD} ，又∵AG＝AR，∴PK＝HQ，
又∵∠PDK＝90°－A，∴HQ＝DP·cosA.
命题4
如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线MN关于三边的对称直线分别交于D、E、F，H是△ABC的垂心，设HQ＝h. 求证：S_{\triangle{D}{EF}}=(tanA+tanB+tanC)h^2.
证明：由命题1结论可知，P是△ABC的内心，HQ＝PK＝h，
∠EDF＝180°－2A，∠DEF＝180°－2C，∠DFE＝180°－2B.
∴∠PDK=90-A，DK=\dfrac{PK}{tan(90-A)}=htanA，
同理，KF=htanB，∴DF=htanA+htanB,
同理，DE=htanA+htanC，EF=htanB+htanC，
所以
S_{\triangle{D}{EF}}=\frac{1}{2}(2htanA+2htanB+2htanC)h=(tanA+tanB+tanC)h^2.
于是当Q点在以H为圆心的圆上运动时，△DEF的面积和形状保持不变，即始终全等。
命题5
当直线a经过H时，直线a_1、a_2、a_3共点，当△ABC不变时，△DEF的形状也不变。
证明：当直线a经过H时，h=0，△DEF的内心P到三边的距离为0，即三线共点。
当△ABC不变时，△DEF的三个角大小也不变，所以△DEF的形状也不变。
黑马对老封的四个命题作了如下的解答：
如图，（对锐角三角形情形进行证明）由题意得，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∴点C是△WEP的内心，B是△PRF的旁心，D是△ARW的旁心，∴CE平分∠DEF，BF平分∠DFE, ∴I是△DEF的内心，且∠RFP=2∠B，∠EDF=180°-2∠A，∴∠DFE=180°-2∠B, ∠DEF=180°-2∠C，
∵∠BIC=∠EIF=90°+1/2(180°-2∠A)=180°-∠A, ∴点I在圆O上，(3)(4)获证.
连接AH交BC于K，交⊙O于M，延长QH交BC于L，连接LM并延长交EP于G
∵H为△ABC的垂心，∴HK=MK, ∴LH=LM， ∠7=∠8，∴LG⊥PE，∴LQ=LG,
∴MG=HQ，∵∠9=∠11=∠10=90°-∠C，∴IM∥EP，即△DEF内切圆半径为a，
∴S△DEF=1/2(DE+EF+DF)a=(tanA+tanB+tanC)a2. (1)(2)得证。