《出众树雪》高手如林，展示的问题难度较高，解法让人叫绝，故拾圣人之遗，以飨读者。前面已经有3篇总汇：
问题30
已知：如图P是△ABD内一点且∠ABP=∠ADP,PE⊥AB于E, PG⊥AD于G，F是BD中点，求证：EF=FG。（流星提供）
黑马解答：取PB,PD的中点C,H，则CF=HG=\frac{1}{2}PD，HF=CE=\frac{1}{2}PB，
∠ECP=2∠ABP,∠PCF=180°-∠BPD=∠PHF，∠GHP=2∠ADP，∴∠ECF=∠GHF，∴△ECF≌△GHF，故EF=FG.
樊贞慧解答：
如图，延长EF至H，使FH=EF，连结CH,EG，则可以证明EB=CH，∠EBC=∠3，∠GCH=180°-∠A=∠EPG,
由△PEB∽△PGC，得EP:GP=EB:GC=CH:CG，故△EPG∽△HCG，∴∠1=∠2，∴∠EGH=∠PGC=90°，
故GF是Rt△EGH斜边上的中线，故EF=GF。
问题31
如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AC于E。F是DE的中点，求证：AF⊥BE。（成都罗老师提供）
黑马解：
先证三角形ADE相似三角形DCE，再证出三角形ADF相似三角形BCE。
问题32
已知：AB＝AC，BE＝ED，AE//DF，DH⊥BF，求证：∠FHC＝∠ACB.（黑马提供）
樊贞慧解：如图甲，延长BA和DF交于M，延长BF交MC于N，连结DN，则易证AM=AB，MC⊥BC，H,D,C,N共圆，∴∠FHC=∠NDC，只要证明ND∥MB即可。
但樊老师没有说明如何证明ND∥MB，经同行提示知道是用塞瓦定理证明的。
如图乙，F为△MBC内一点，由塞瓦定理：\frac{BD}{DC}\times\frac{CN}{MN}\times\frac{MA}{AB}=1，
∵AM=AB，∴\frac{BD}{DC}=\frac{MN}{NC}，∴ND∥MB。
后来我用面积法又找到了一种证明ND∥MB的方法：
如图乙，设S△ABF=S△AMF=m，S△MNF=a，S△NFC=b，S△DCF=c，S△BDF=a+b-c，
则有\frac{b}{a}=\frac{a+b}{2m}=\frac{c}{a+b-c}，
即\frac{CN}{MN}=\frac{CD}{BD}，∴ND∥MB。
黑马的解法：如图丙，设AE=ED=a，DC=2b，
问题33
已知∠1=∠2，BD=CE，求证：AB=AC。
黑马一口气提出了如下6种方法：
方法1：
如图，作DM⊥AB于E，EN⊥AC于N，假如AB>AC，那么∠B<∠C，
∴∠ADE<∠AED，∴AD>AE，①
另一方面，∵△BDM和△CEN中，BD=CE，∠B<∠C，∴MD<NE，
故△ADM∽△AEN，AD<AE，②
①②是矛盾的，同理可证AB<AC也会矛盾，∴AB=AC。
方法2：作△ABC的外接圆，AD、AE的延长线交圆于F、G，
则由∠1=∠2可证EF=CG，∠FBD=∠GCE，∴△FBD≌△CGE，
∴∠F=∠G，∴AB=AC。
方法3：∵\frac{AD}{sinB}=\frac{BD}{sin\angle1}=\frac{EC}{sin\angle2}=\frac{AE}{sinC}，∴\frac{AE}{sinB}=\frac{AD}{sinC},相除得AD=AE,就可以证明全等.
方法4：AB×AE=AD×AC,AB×AD=AE×AC(面积相等得出的),相乘得AB=AC。
方法5：如图作△ADE的外接圆，则∠FDB=∠BAE，∠GEC=∠DAG，
∵∠1=∠2，∴∠BAE=∠DAC，∴∠FDB=∠GEC，于是易证△BDF≌△CEG，
∴∠B=∠C，∴AB=AC。
方法6：如图，分别作△ABD和△ACE的外接圆，延长BA,CA交圆于N,M，先证明△MBD和△NEF全等,再证明△MBC和△NCB全等。
问题34（黑马提供）
洪利芳解答:
黑马有以下2种解法：
解法1
解法2
问题35
洪利芳提供：如图，在△ABC中，BE、BP三等分∠ABC，CE、CP三等分∠ACB，A、P、E共线，求∠BPE度数。（是《尖子生》中的题，答案是45°）
经几何画板操作发现，符合条件的三角形一定是等腰三角形，AD一定是顶角平分线。只要AB=AC均满足条件，那么∠BPE度数是变量了，∴这个问题无解。
接下来的问题：如何证明AB=AC、AD平分角BAC呢？
樊贞慧老师的证明：
如图，易证E是△BPC的内心，作△PBE和△PCE分别关于PB,PC的轴对称三角形，易证△AE’P≌△AE”P，故AD平分角BAC。AB=AC的证明就不难了。
问题36
黄冈朱老师提供：
黑马解：由面积法得3x+4y+5z=12，与\frac{3}{x}+\frac{4}{y}+\frac{5}{z}=12相加并配方得(\sqrt{3x}+\sqrt{\frac{3}{x}})^2+(\sqrt{4y}+\sqrt{\frac{4}{y}})^2+(\sqrt{5z}+\sqrt{\frac{5}{z}})^2=0，所以x=y=z=1，则结果为3.
问题37
张阿水提供：
黑马解答：
第（1）题是第（2）题的特例，（2）的解答如下：
问题38
如图，AB=AC=BD=CE，AD=BE，求∠ACE的度数。
解：作△BFE≌△ABD，那么BF∥AC，BF=AC，∴四边形ABFC是平行四边形。
故CF=AB，∴△CEF是正三角形。设∠1=x，那么∠A=180-x-60=120-x，
∠2=180-2(120-x)=2x-60=∠3，∵∠A=∠3+∠4，∴120-x=2x，x=40。
问题39
已知A(-4,8),B(2,2),C(-2,0)，点A,B向x轴负方向平移相同的距离，设像为A’,B’，当A’C+B’C最小时，求A’的坐标。
解：如图设B关于x轴对称点为B”，AB”交x轴于D，将AB”平移使其过C点，得线段A’B”’，
这时A’C+B’C=A’B”’，两点之间线段最短。
易得线段AB”的解析式为y=-\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}
∴D(\frac{4}{5},0)，DC=\frac{4}{5}+2=\frac{14}{5}，∴A'(-\frac{34}{5},8)
问题40
（水六杯提供）如图，△ADB∽△AEC（A对应A，D对应E），DC、BE交于E，G、H分别是DE、BC的中点，求证：GH∥AF。
证明（成都罗老师提供）
由相似可得\frac{1}{2}AD\times{AC}=\frac{1}{2}AB\times{AE}，
即S△ADC=S△ABE，这说明 C,D到AF距离之和等于B,E到AF距离之和，
即DM+CP=BQ+EN，或EN-DM=CP-BQ.
如上图，当E是AC中点时，EF=\frac{1}{2}(DC-AB).
故在原图中有G,H到AF距离相等，这说明GH∥AF。
问题41
在直角梯形ABCD中，EF⊥BC，G为BC中点，BC=16，EG+EF=8,求AB+CD的值。
黑马解答：
