课堂实录──意外的收获

星期五上午教学内容是《5.1多边形》第一课时,内容是四边形的内角和与外角和。下午又有一节数学课,我随手出了一道题:

已知四边形的四个内角由小到大的比是1:2:3:4,求四个外角由小到大的比(每个内角只取一个和它相邻的补角)。

接下来发生的事情全是我意料之外的,我的所有问题也是随机生成的,但我却收获了意外。

不一会儿,学生都做出了答案1:2:3:4。我问了一个学生的解法是,先求四个内角的度数,再分别求它们的补角,由小到大分别都是36°、72°、108°和144°。我说同样的方法请举手,几乎都举手了。

我又说不一样的方法举手,居然有一个学生A举手了(这是我的习惯,我总想知道还有什么方法)。

学生A说:由小到大的比外角和内角一定是一样的,所以别人还在算的时候,我就知道答案了。

我问:为什么?

A答:因为内角大的外角就小,内角小的外角就大,所以比一样的。其他同学和我一样表示怀疑。

我说:这很简单,只要我们每个人再举一个例子,就可以进行评判了。

于是学生们都举例尝试着……,不久我问:你的例子符合A的命题的请举手,绝大多数的人举手了。

又问:你的例子是反例的请举手,也有人举手了。

我将学生的例子分为两类:

外角和内角的比相等的例子 外角和内角的比不相等的例子(左边是内角,右边的外角)
1:2:3:4 1:2:2:4≠1:5:5:7
1:3:3:5 1:1:1:2≠1:3:3:3
1:3:5:7
2:3:5:6

我说:有些例子符合A命题,有些不符合A命题,这说明了什么?

学生B答:这说明A命题是假命题。

学生C说:在一定条件下会符合A命题,但不知道是什么条件。

我说:很好啊,C同学又为我们提出一个新的问题,请大家考虑一下,到底在什么条件下会使外角和内角的比相等呢?请你得出一个新的命题。

大约过了100秒,我想检验学生的成果了,为了减少学生的思想负担,我说:你只要得出一个命题就行了,真假没关系。

学生D:当四个内角的比中,最大与最小的和等于另两个的和,外角和内角的比就相等。

学生E:当四个内角的比相加为偶数时外角和内角的比就相等,当四个内角的比相加为奇数时外角和内角的比就不相等。

学生们马上用表格里的例子进行验证,发现D命题和E命题都没问题。

我说:可能判断E命题的真假会容易一些(我预感这是一个假命题),大家再举一些例子试试。

不一会儿,学生F有了反例1:3:3:3≠1:1:1:2,并说:我没有算过,我只是将表格里的例子掉个头。

我敏感地发现,这又是一个命题,就问:你是说,内角的比与外角的比互换结论依然成立?

答:是的。

我说:就称为F猜想吧。下面我们来解决同学D的猜想,请问用什么方法解决呢?(其实这时我也不知道这个命题的真假)

学生G:正确的加以推理证明,错误的举出反例。

我说:很好,那就开始行动吧。

这时,下课铃响了,大家都感觉到时间过得太快了。我说:没事,下周一我们继续来。

星期一,我饶有兴趣地继续上周的问题。问大家研究过D同学的命题吗?是真还是假?

答曰:真命题。

问:有谁证明了?

四位学生举手了,但我看到他们的证明连已知什么,求证什么都很混乱,更不用说是证明的规范了。于是我在黑板上写出了统一的条件和结论:

已知:四边形ABCD的四个内角分别是∠1、∠2、∠3、∠4,每个内角只取一个外角分别是∠5、∠6、∠7、∠8,且∠1:∠2:∠3:∠4=∠5:∠6:∠7:∠8=a:b:c:d(a≤b≤c≤d).

求证:a+d=b+c.

我让大家开始证明,我等啊等啊,大概等了15分钟,不见有规范的证明过程出现,于是只好将我的证明过程展示:

∵∠1+∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠7+∠8=360°,

∴∠1=\frac{a}{a+b+c+d}\times360=∠5,同理∠2=∠6,∠3=∠7,∠4=∠8.

∵内角中∠1最小,外角中∠8最大,∴∠8是和∠1相邻的外角,∴∠1+∠8=180°.

即∠1+∠4=180°,∴∠2+∠3=180°,从而∠1+∠4=∠2+∠3.

也即\frac{a}{a+b+c+d}\times360+\frac{d}{a+b+c+d}\times360=\frac{b}{a+b+c+d}\times360+\frac{c}{a+b+c+d}\times360

于是a+d=b+c.

学生纷纷做好笔记,我将命题改成:(其实这才是学生D命题的本意)

已知:四边形ABCD的四个内角分别是∠1、∠2、∠3、∠4,每个内角只取一个外角分别是∠5、∠6、∠7、∠8,∠5≤∠6≤∠7≤∠8且∠1:∠2:∠3:∠4=a:b:c:d(a≤b≤c≤d),a+d=b+c.

求证:∠5:∠6:∠7:∠8=a:b:c:d.

这次学生的证明步入正道了,不久就有许多学生写出了规范的过程。

证明:∵内角中∠1最小,外角中∠8最大,∴∠8是和∠1相邻的外角,∴∠1+∠8=180°.

∵a+d=b+c,

\frac{a}{a+b+c+d}\times360+\frac{d}{a+b+c+d}\times360=\frac{b}{a+b+c+d}\times360+\frac{c}{a+b+c+d}\times360

即∠1+∠4=∠2+∠3,

∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°,∴∠1+∠4=∠2+∠3=180°,

由∠1+∠8=180°和∠1+∠4=180°得∠8=∠4,

同理可得∠1=∠5,∠2=∠6,∠3=∠7,

∴∠5:∠6:∠7:∠8=∠1:∠2:∠3:∠4=a:b:c:d.

一节课又到了下课的时间了,学生F的猜想还没来得及研究,只好留给学生课后自行解决了。没想到一节简简单单的5.1第一课时,居然要花3节课,但我觉得收获颇丰,意外的收获使我再次感受到课堂上的快乐。

《课堂实录──意外的收获》有4个想法

  1. 精彩的生成源于平时的积累,学生在你平时的教学习惯中养成了思考和探究的习惯。好!

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