数学群问题讨论汇总2

问题12

三角形ABC内部有一点P,使角PAB=10度,角PBA=20度,角PCA=30度,角PAC=40度,证明:三角形ABC是等腰三角形。

解:过A点做射线AX使∠PAX = 10°,∠CAX = 30°;过B点做射线BY使∠PBY= 20°,交PX于点M,交AC于点N。 由原题得知:∠APB = 150°,∠APC = 110°,∠BPC = 100°; ∠BAP = ∠MAP =10°,∠ABP = ∠MBP =20°,得出P点是△ABM内心, 所以∠AMP = ∠BMP =60°,推出∠BPM =100°=∠BPC,所以点M在PC上。 由以上推出∠BMP = ∠PMA =∠AMN = ∠NMC=60°,∠CAM = ∠ACM =30°,可以推出AN=CN且BN⊥AC; 所以AB=AC,△ABC是等腰三角形。

问题13

陈依琼提出问题:“周长和面积都相等的两个三角形全等”是假命题,请举出反例。 黑马的反例是:5,5,6和\frac{15-\sqrt{13}}{2},\frac{15-\sqrt{13}}{2},1+\sqrt{13}, 余姚徐小红的反例是:11,11,4和7,7,12 黑马又给出一般性的反例:

问题14

成都罗老师抛出这样一个问题,并附有解答,但自己觉得解答不够简单。 黑马给出更简单的解法,但没有详细说明。 现说明如下: 设正方形边长为x,按图中构造知m=\sqrt{4^2-x^2} 以及 n=\sqrt{3^2-x^2},那么 内部小正方形的面积=mn,小正方形以外的面积=2(5-mn).

问题15

如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD是三角形的角平分线,AD=BC,(1)求∠BDC的度数;(2)求证:BD+DC=AC。 方法1:设AD=a=BC,AB=AC=1,则BD=1-a,由AD:BD=AC:BC,可以解出a的值,从而能证明△ABC∽△CBD,所以∠A=36°.其余证明略。 方法2:高老师解 如图2,作AE∥BC,交CD延长线于E,设AC=AE=b,AD=BC=a,由△AED∽△BCD可以得到关于a,b的关系,从而能证明△ABC∽△CBD。 以下是黑马的方法。 方法3:如图2,作AE∥BC,交CD延长线于E,证明△EAD≌△ABC; 方法4:如图3,将△ADC沿着CD反射,得到△EDC,则可证EB=DB; 方法5:作DE∥BC,证明△EAD≌△DBC。

例16

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,E是斜边AB的中点,D在AC上,且CD=BE,DE延长线交CB延长线于E,求证:∠A=2∠E.

罗老师解:连结CE,作CF⊥DE于F,设∠E=x°,那么∠DCF=x,∠A=∠ACE=2x。

例17

如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是BC上的中点,AD⊥AD于F交AB于E,求证:∠BED=∠AEC。 黑马解:作BG⊥BC交CE延长线于G,证明△EGB≌△EDB即可。 由此证明还可得出AE=2EB以及∠ADC=∠EDB.

例18

这个方法是成都罗老师的解法。下面这个是黑马的解法。

 问题19

黄冈朱老师提供:如图,△ABC中AB=BC,∠B=90°,G是AB的中点,P是BC上任意一点,延长PG和CA交于I,作矩形BGHC,连结IH,求证:∠IHG=∠PHG. 方法1:黑马解:过A作AB的垂线分别交CD延长线,IH,IP于D,E,F,由EF∥GH及IC平分HG,得AE=AF=BP,所以DE=CP,故△DEH≌△CPH,这样∠IHG=∠PHG. 方法2:如图作一些垂线形成矩形GHDE,设GB=1,GE=a,则EI=EA=a-1,由△GEI∽△GBP得BP=\frac{a-1}{a},所以CP=\frac{a+1}{a},故\frac{ID}{DH}=\frac{PC}{CH},所以△IDH∽△PCH,故∠IHG=∠PHG.

方法3:黑马解, 巧妙啊。

问题20

黄冈朱老师提供:如图,AB是⊙P的直径,弦CD∥AB,过点B的切线交AD的延长线于E,连接AC并延长至F,使CF=AC,连结EF,试判断AF与EF的位置关系.

黄冈朱老师证:连结CB,FB,DB,∠BAE=∠ABC,∠BAF=∠AFB=∠AEB,则A、B、E、F四点共圆,∴∠AFE=90°,∴AF⊥EF.

黑马证:连结CB交AD于G,易证G是AE是中点,所以CG是中位线,故AF⊥EF.

《数学群问题讨论汇总2》有3个想法

  1. 这个是QQ群里高手做的,你是学生还是老师?如果是学生就算了,因为这比较难,如果是老师请加群。

  2. 黄老师,面积和周长相同的两个三角形不全等,你提到了一般式,我不知道怎么算,你能帮我详细说明一下吗?

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