数学群问题讨论汇总3

问题21

本问题黑马提供，并解答如下：

问题22

黑马的解法

黄冈朱老师的解法

过O作OG⊥BC于G，过C作CF∥MN交AB于F，AD于E，连CE，通过证O、P、D、G和C、D、G、E两组四点共圆，得EG∥AB，得E是CF的中点即可.

问题23

黑马的解法

延长CA和BF交于E连AF，作FK⊥AD，由AD∥EB及AG=GD，得BF=EF，易证AF=BF=FG，故AK=KG，所以BF=KD=\frac{2}{3}DG，故\frac{CD}{CB}=\frac{DG}{FB}=\frac{2}{3}，故BD=\frac{1}{3}CB=2\sqrt{2}，FG=BF=DK=\frac{3}{4}AD=\frac{3}{4}\times16=12.

问题24

 

成都罗老师的解法：

连结QF，作QI⊥BC，由已知A,B,D,E共圆，由中位线定理知QF=1/2BC=1/2AD=QI，又QB=QE，∠BQI=∠EQF，故△BQI≌△EQF，故BD=2EF。

问题25

如图直线y=2x+2与x轴交于A，与y轴交于E，D在直线上，四边形DEBC是正方形，CF⊥CE交过A,D,C三点的圆于F，求证：CF定长。

成都罗老师的方法：

如图，连AF，作EG⊥AF于G，则由圆内接四边形对角互补，得∠F=90°，故ECFG为矩形，CF=EG=\frac{\sqrt{2}}{2}AE=\frac{\sqrt{10}}{2}，所以CF为定长。

讨论：可以进行一些改编。

①E是直线上的一个定点，结论不变；

②当B在x轴上时，求圆的半径；

③E是直线上的一个定点，当CF=根号10时，求E点坐标。（本问题有2种情形，但答案一致）

可否改编出2种情形，2个不同答案的问题？可以继续讨论。

问题26

把一条线段分成3段，能构成三角形的概率是（        ）

A.\frac{1}{2}       A.\frac{1}{3}       A.\frac{1}{4}       A.\frac{1}{6}

黑马的解答：

我的思考：将一条线段AB分成3段，可以看作先在单位1的线段左边截取一条线段AC=a，再在剩下的线段左边截取线段CD=b，最后剩下的是DB=c，由于a<b+c，所以a<\frac{1}{2}，故C点选择的概率是\frac{1}{2}。

同理，为使c<\frac{1}{2}，D点必须取在AB中点O的右边，对称地考虑，D点也要在P的左边（BP=CO），我们不难计算OP=a，也即D点选取的长度在1-a中只有a的长度，所以D点选择的概率是\frac{a}{1-a}。

根据乘法原理总事件的概率是\frac{1}{2}\times\frac{a}{1-a}。

我这样思考怎么就解不出\dfrac{1}{4}的答案呢？

问题27

初三第二次月考试卷上有这样一道题：

已知正方形内接于半径为20、圆心角为90°的扇形（即正方形的各顶点都在扇形边或弧上），则正方形的边长是（      ）

A.  10\sqrt{2}        B.  2\sqrt{10}        C.  10\sqrt{2}或2\sqrt{10}        D.  10\sqrt{2}或4\sqrt{10}

我看了这题，立即有个想法：直角扇形的内接正方形只有2个吗？有没有斜放的正方形呢？如果没有怎样证明？

我的问题得到蒋国刚老师的响应，他给出的命题是：

如图，正方形ABCD内接于直角扇形OPQ，其中A、D在弧上，B、C分别在半径上，求证：OB=OC.

蒋国刚老师的解答是：

如图，将扇形补全成圆，作直径DF,AE，则D,C,E和A,B,F均共线，于是△CDO≌△BAO，故OB=OC.

黑马觉得此命题的正方形可以弱化为矩形，圆心角可以弱化为0到180度的任意角，并给出了非常简单的证明方法：

如图作弦心距OE，交BC于F，由垂径定理易得CF=BF，故OB=OC.

原先我没有找到证明方法，想通过几何画板画图看看是否会有第三种正方形，于是设计了这样一个画图问题：

解决方法：如图连AO，作AE⊥OP于E，设半径为r，OC=a，OB=x，

有△OBC≌△EAB得BE=a，AE=x，由OA²=OE²+AE²，得r²=(x+a)²+x²，

解得x=\frac{-a+\sqrt{2r^2-a^2}}{2}

按照这个代数式的结构，可以用勾股定理作出x，从而作出点B和点A. 并且因为这个方程一定有唯一的正实数根，所以对于任意给定的C点，一定唯一存在这样的等腰直角三角形。

具体做法如下：

1、作Rt△PQH，使∠H=90°，PH=CO，QH交弧于E；

2、取QE中点F，在OP上截取OB=EF；

3、作BA⊥CB交弧于A。

结论：△ABC即为所求的等腰直角三角形。

群友“伏龙山”还研究了一些点的运动轨迹。

问题28

初三第二次月考试卷上还有这样一道题：

如图，矩形ABCD的顶点A,B分别在x，y轴上顶点C,D在反比例函数y=\frac{k}{x}的图象上，且AB=6，AD=2则k的值是                             。

疑问：满足条件的矩形只有一种位置吗？

蒋国刚解答：只有一种位置，如图设直线CD交坐标轴于E,F，那么可以证明CF=DE，又CB=AD，所以△ADE≌△BCF，故∠OBA=∠OAB=45°.

问题29

黄冈朱老师提供问题并解答。

如图，△ABC中，∠B=24°，∠C=30°，D在BC上，DC=AB，求证：AB·AC=AD·BC.

解：