数学群问题讨论汇总1

《出众树雪》是一个小小的初中数学群，群号：88730268，2009年创办这个群，旨在群员之间互相研究、讨论、学习。2年多来群内学术气氛浓厚，解题高手辈出，群员数学资料共享。较为突出的是黑马和成都罗老师，他们坚守群的岗位，有问必答，有难必解，受到广大群员的尊敬和崇拜。在群员的建议下，我将群内讨论的数学问题和解题方法收集如下，以飨读者。

问题1

如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E是OD中点，射线AE交圆于F，CF与DB交于G，求证：DG=GB。

证明：容易证明黄色三角形与蓝色三角形相似，因为AO:OE=2:1，所以CB:BG=2:1，即BG=DG。

问题2

如图，有三个正三角形ABC,BDP,CEP，其中P在BC上，点F,G,H分别是这三个正三角形的重心，求证：△FGH为正三角形。

解法一：代数法

如图过F,G,H三点作矩形IRHS，设AB=2a，PB=2b，则可用a，b表示直角三角形IFG,SFH,HRG的三条斜边，而且表示的结果是一样的代数式。

方法二：几何法（高老师）

△BGF与△BPA相似，相似比为1比根号3；同样△CHF与△CPA相似，这样可以证明FG=FH;  然后利用刚才的相似，对应角相等，可以证明∠BFG+∠CFH=60度，即∠GFH=60度。

问题3

如图，点D在△ABC内，∠ABD=10°，∠ABC=80°，∠ACD=20°，∠BAC=40°，射线AD交BC于E。求∠AEC的度数。

解法一：

作∠DCB的平分线交AB于M,易知BC=CM=CD=AM，BM=DM，∠AMD=20度。

在CA上截取CG=MD，由∠DCG=∠AMD=20度，CD=AM，可证△AMD≌△DCG，

所以∠MAD=∠CDG,  且DA=DG，所以∠DAG=∠DGA,

设∠DAG=x,则由∠MAD=∠CDG得：40-x=x-20，解得：x=30,

于是∠AEC的度数=90度。

解法二：

以CD为边画等边三角形DKC，可以证明OA=OB，OK=OC，得BK=AC，

从而可以证明ΔADC≌ΔBDK，得AD=BD，即∠DAB=∠DBA=10°，

所以∠AEB=90° 。

问题4

已知如图，△ABC是等边三角形，D、E分别为AC、BC上的点，AE、BD交于F，且CD=BE，BD⊥CF，求AF与BF的比值。

黑马解：将△ABF绕B点顺时针旋转60°，至△CBM的位置，则容易证明CM:FM=1:2，即为所求。

问题5

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E在AB上，F在AC上，∠EDF=90°，求证：EF^2=BE^2+CF^2.

解：将△BDE绕D点旋转180°至△CDG的位置，连结FGA，则可证GC=BE，FG=EF，∠FCG=90°，GF^2=CG^2+CF^2，即EF^2=BE^2+CF^2。

进一步思考：

（1）王波明：如图1，可以用四点共圆的方法证明∠EFD=∠BAD=∠B，所以△DEF∽△ABC；

（2）成都罗老师：如图2，过E、F作BC的垂线EG,FH，则三块带颜色的三角形相似，且绿色三角形的面积等于黄色三角形的面积的和；

（3）成都罗老师：如图3，PQ为中位线，则两块绿色三角形相似；

（4）成都罗老师利用图2或图3证明本题的结论，其中图2中用到sin∠EDG+sin∠FDH=1.

（5）黑马想到的方法很简单。

①作B点关于DE的对称点B’，则容易证明△B’DF≌CDF，且∠EB’F=∠EDF=90°.

②将△BDE绕D顺时针旋转90°，△DFC绕D逆时针旋转90°，容易证明△E’DF’≌EDF，所以E’F’=EF.

黑马的第4种方法：

问题6

如图AD是△ABC的高，P是AD上任意一点，BP、CP延长后分别交对边于F、E，求证：∠ADE=∠ADF。

解：如图延长BF,DE,DF,CE，分别与过A点BC的平行线交于M,N,S,T，

由相似三角形得：\frac{AT}{BD}=\frac{AS}{CD}=\frac{AP}{PD}.

\frac{AT}{BC}=\frac{AN}{CD}=\frac{AF}{FC}，\frac{AS}{BC}=\frac{AM}{BD}=\frac{AE}{EB}.

由以上关系不难得出：AM=AN，故AD是MN的中垂线，所以 ∠ADE=∠ADF。

问题7

已知a,b,c是有理数，求证：\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}也是有理数。

叶士琴证明：设a-b=x，b-c=y，则c-a=-x-y，

则原式=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}}=\sqrt{\frac{{x^2}{y^2}+(x^2+y^2)(x+y)^2}{{x^2}{y^2}(x+y)^2}}.

设xy=m,x+y=n，

则原式=\sqrt{\frac{m^2+(n^2-2m)n^2}{{m^2}{n^2}}}=\sqrt{\frac{n^4-2mn^2+m^2}{{m^2}{n^2}}}=\sqrt{\frac{(n^2-m)^2}{{m^2}{n^2}}}=\frac{n^2-m}{mn}.是有理数.

问题8

如图，直角梯形ABCD中，∠C=∠B=90°，AB=BC=4，以AD为边作正△ADE，E点正好落在BC上，求△CDE与△ABE的面积之比。

张良江解：如图补全一个正方形，设BE=x，则有4^2+x^2=2(4-x)^2，

解得x=8-4\sqrt{3}，从而求出比值为2.

问题9

如图1，△ABC中，∠C=20°，AC=BC，M,N分别在AC,BC上，∠MBA=60°，∠NAB=50°，求∠NMB.

成都罗老师:方法1

如图2，作MK∥AB交BC于K，连结AK交BM于P，连结PN。

则△ABP和△MKP均为正三角形，

易证PB=AB=BN，故∠NPB=(180-20)÷2=80°，∠KPN=120-80=40=∠PKN，

所以NP=NK，所以△PMN≌△KMN，所以∠NMB=30°.

方法2：如图3

 

黑马的方法：

问题10

如图，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，EF分别AB，BC上的点,AF和CE相交于点G，并且△ABF的面积为5平方厘米，△BCE的面积为14平方厘米，求四边形BEGF的面积。

解：连结AC、BG，记S△AGE=a，S△EGB=b，S△BGF=c，S△FGC=d．

∵ BF:BC=S△ABF:S△ABC=2:7，同理 BE:BA=4:5，则有b=4a，d=\frac{5}{2}c.

由已知a+b+c=5，b+c+d=14，

即得四元一次方程组，可求得：b=\frac{28}{27}，c=\frac{100}{27}．

因此：S_{BEGF}=b+c=\frac{128}{27}（平方厘米）

问题11

如图，P是等腰△ABC内一点，∠ABP=30°，∠CBP=40°，∠ACP=50°，∠BCP=20°，求证：（1）∠CAP=30°；（2）PA=PB+PC。

解：（1）作△ABP的轴对称△ACD，连结PD，延长CP交AB于F，作△APD的高AE.

易证BP=PD=DC，PE=ED，∠BFP=90°，PF=\frac{1}{2}PB=PE，

所以△APF≌△APE，所以∠PAF=∠PAE=∠DAE=∠DAC=10°，即∠CAP=30°；

（2）作△ABP的轴对称△ABG，连结PG，则△BPG是正三角形，C,P,G在一直线上，

所以PA=GA=GC=GP+PC=PB+PC.

待续