一、引言
提高初中数学课堂教学效益的途径比较多，其中开设公开课和评课研讨是重要的途径之一。近年来，“专家引领、同伴互动、个人反思和行为跟进”的行动教学模式备受关注，但由于实际教学中受人力、物力和时间等条件的限制，我们采用“一课二听”的教研活动形式，这是一种比较受欢迎的校本教研方式，即听好一位教师的课后，听课者（有专家参与）从教学理念、教学方法和一些细节问题上提出改正意见，由上课教师调整教学设计后再上一节同样内容的课，由此来切身体验课堂教学效益是怎样提高的。2006年5月24日，我们学校年轻的数学教师沈晔有幸成为这种形式教研活动的受益者。听课者是宁波大学数学教育研究博士、宁波市教育学院的老师、宁波市初中数学骨干教师高级研修班的学员。下面用案例形式对本次活动进行回顾和反思。
二、“一课二听”教研活动案例
沈晔老师是我校教龄不到一年的年轻教师，该教师平时勤奋好学，为了促进年轻教师专业成长，学校不但安排师徒结对，还经常进行听课帮带。刚进校时连怎样备课、上课都不知道，后来由于本人好学，进步较快。当学校得知有这么一个机会，就立即想到沈晔应该得到尝试。
她上课的内容是《因式分解复习课》。先由其自己进行教学设计、备课，上午第1节在105班上了第一次课，第2节课大家坐在一起，围绕着如何上好这节课进行热烈地讨论，专家们就如何改进教学设计提出了许多好的建议。在第3节课沈老师根据专家的建议进行第二次备课，修改课件。第4节课在108班又上了同样内容的课。
1、第一节课教学过程概述
本节《因式分解复习课》采用了传统的教学模式，整节课可以分为知识回顾、因式分解练习、因式分解应用和小结四个模块。
| 模 块 | 内 容 | 时间 | 课堂实录 |
| 知识回顾 | 1．什么叫做因式分解？（复习因式分解的概念以及因式分解与整式乘法的关系）2．我们学了哪些因式分解的常用方法？（提公因式法 ，公式法，十字相乘法 ） 3．因式分解的一般思考步骤是怎样的？（“提”、“套”、“查”） | 6分钟 | 教师叫个别学生回答问题，气氛有点沉闷，大多数学生作为旁听者，参与面不大 |
| 练 习 | 练习1、以下从左到右的变形中，哪些是因式分解？(1)(a+2)(a-2)=a2-4；(2)-x2+xy-xz=-x(x-y+z)；(3)x+1=x(1+1/x)；(4) 8a3bc=2a2·4abc(5)a2-b2=(a+b)(a-b)；(6) m2+m-4=(m+3)(m-2)+2。 | 4分钟 | 教师让学生先观察，再叫学生一一回答，当学生讲错时，教师将以纠正 |
| 练习2、把下列各式因式分解:(１) 3ay-3by+3y；(２) -4a3b2+6a2b-2ab；(３) 25-16x2；(４) x2-14x+49 | 5分钟 | 教师既在大屏幕上打出题目，又将题目抄在黑板上，让4位学生上来板演，2分钟20秒后板演完毕。 | |
| 练习3、把下列各式因式分解:(1) 5m(a-b)4-4m2(b-a)3；(2)9(x-y)2-(x+y)2；(3)(x+y)2-6(x+y)+9；(4)3x3-12x2y+12xy2；(5)4(x-1)2(3x-2)+2-3x | 10.5分钟 | 大屏幕打出题目后，教师让全体学生在自己草稿纸上进行运算。然后教师边讲解边板演，偶尔叫个别学生回答问题。 | |
| 应 用 | 计算（1）(2mp-3mq+4mr)÷(2p-3q+4r)；（2）[(3x-7)2-(x+5)2]÷(x-6) | 6分钟 | 先逐一叫学生板演，再进行讲解，其中做第2题的学生因题目有难度而没能完成。 |
| 解方程(1)3x2=4x；(2)x2=(2x-5)2 | 6.8分钟 | 第1题学生板演后再讲解，但没有讲降次的一般方法 | |
| 利用因式分解计算：（1）57×99＋44×99－99；（2）9752－252；（3）8002 －1600×798+7982 | 6分钟 | 教师自己板演 | |
| 小结 | 因式分解的“四个注意”一、首项有负常提负；二、各项有公先提公；三、括号里面分到底；四、提净分完连乘式。 | 2.5分钟 | 至此上课已经用了44分18秒，所以小结就很匆忙了。教师赶紧说：下面老师送给你们四句话。 |
2、第一节课后专家点评
①复习引入单调，建议采用边练习边总结的办法，导入的内容应该在操练中体现。
②讲解不够深入，没有提高到思想方法上来，如整体思想、降次方法等。
③要注意变式，如解方程3x2=4x，可以变式为3x2-4x=0、3x2-4x=-1以及x(3x-4)=-1等。
④教师讲得太多，学生动、说得太少。要扩大学生投入的面，积极关注学生的认知投入、行为投入和情感投入。
⑤时间安排不够合理，详略不当，小结匆忙。
3、第二节课教学过程概述
经过专家的指点，第二节课对上述5个方面进行了改进，课堂教学过程见下表。
| 模 块 | 内 容 | 时间 | 课堂实录 |
| 练 习 | 练习1、以下从左到右的变形中，哪些是因式分解？(1)(a+2)(a-2)=a2-4；(2)-x2+xy-xz=-x(x-y+z)；(3)x+1=x(1+ )；(4) 8a3bc=2a2·4abc；(5)a2-b2=(a+b)(a-b)；(6) m2+m-4=(m+3)(m-2)+2。 | 3分钟 | 先出示上一节课的练习1，叫学生逐一回答，完成 练习1后复习“什么叫做因式分解”。 |
| 练习2、把下列各式因式分解:(１) 3ay-3by+3y；(２) -4a3b2+6a2b-2ab；(３) 25-16x2；(４) x2-14x+49 | 4.5分钟 | 接着出示上一节课的练习2，学生先独立完成，教师再逐一叫学生回答解答方法。完成例2后复习“因式分解的一般方法” | |
| 练习3、把下列各式因式分解:(1) 5m(a-b)4-4m2(b-a)3；(2)9(x-y)2-(x+y)2；(3)(x+y)2-6(x+y)+9；(4)3x3-12x2y+12xy2；(5)4(x-1)2(3x-2)+2-3x | 12.5分钟 | 练习3每道小题由两位学生板演，每做完一题就进行讲解。后问学生有什么感受，有一位学生回答：要检查结果有没有分解到底。教师说出了自己的感受：换元思想。 | |
| 应 用 | 利用因式分解计算：（1）57×99＋44×99－99；（2）9752－252；（3）8002 －1600×798+7982 | 7分钟 | 由学生板演，教师讲评。 |
| 解方程(1)3x2=4x；(2)x2=(2x-5)2；(3)x2+4x=12 | 8分钟 | 由学生板演后再讲解，并总结了降次的一般方法 | |
| 计算（1）(2mp-3mq+4mr)÷(2p-3q+4r)；（2）[(3x-7)2-(x+5)2]÷(x-6) | 7．5分钟 | 学生板演，再进行讲解，其中第2题由2位学生上来板演，第2位学生做对了。 | |
| 小结 | 因式分解的“四个注意”一、首项有负常提负；二、各项有公先提公；三、括号里面分到底；四、提净分完连乘式。 | 2．5分钟 | 由于时间充裕，所以小结很从容，但内容与前一节课一样。 |
4、课后的形成性测评
授课的两个班级基本在同一层次上，学习情况相近。课后对两个班都进行了评价，评价题目是：
（1）因式分解(3x-5y)2-(x-3y)2；（3分）
（2）已知a2-b2=40，a+b=8，求a的值；（2分）
（3）解一元二次方程x(x+1)=2；（2分）
（4）用三种方法填空，其中横线上填单项式，括号里填多项式。（3分）
4x2+ +1=( )2；4x2+ +1=( )2；4x2+ +1=( )2
评价结果是：
| 0分 | 1分 | 2分 | 3分 | 4分 | 5分 | 6分 | 7分 | 8分 | 9分 | 10分 | 总人 | 平均 | |
| 105班 | 2人 | 2人 | 0人 | 6人 | 7人 | 5人 | 1人 | 8人 | 3人 | 1人 | 0人 | 35 | 4.8 |
| 108班 | 2人 | 2人 | 1人 | 0人 | 6人 | 2人 | 4人 | 11人 | 2人 | 1人 | 2人 | 33 | 5.6 |
明显看出，第二节课的效果比较好。
三、对本次活动的反思
1、二节课的前后变化
第一节课导入无味，讲解时详略不当，常有累赘之感。教师讲得多，学生动得少，课堂气氛较为沉闷，缺乏活泼、生动的场面。整节课没有高潮，缺乏悬念，所提问题过于肤浅，没有层次感。
经过专家指点，第二节课有所改观，具体反映在以下几个内容。
- 导入穿插在例1、例2中，既少花时间，又使学生不觉乏味。
- 增加板演，学生参与率高。
- 讲解时详略得当，减少了重复感。
- 时间安排更加合理，使得每个环节都比较充裕。
- 解一元二次方程类型更多，能点明降次的基本方法。
2、教学中仍存在的问题
①整节课没有高潮，缺乏起伏，太传统
②学生参与面还不够大
③题型缺乏变化
④设问不能引起认知冲突
⑤教学模块的设置不够清晰
3、“一课二听”活动的不足
①一个半天内，两节课之间往往只有两节课，一节课点评，一节课修改教学设计，时间太仓促，于是第2节课的效果不是太理想，以至还存在上述5个问题。
②不是每个学校都能做到“专家引领”，这样也只能靠“同伴互助”了，活动的收效会少一点。
③执教者的基本功太好或太差都会影响活动的效果，于是执教者的选择比较困难。
4、对本课教学设计的进一步建议
教学设计的关键是在于教学目标的定位，作为因式分解的复习课，教学目标不应该仅仅定位于复习因式分解的概念和方法，更应拓展到培养学生良好的思维习惯和多种数学思想，将因式分解应用到更加广泛的领域。教师讲得少，学生动得多，设置一些有新意的问题，让学生进行讨论，让课堂活起来。
四、本人设计的《因式分解复习课》教案。
同学们，我们已经学完了因式分解，今天我们来复习一下。下面是两位同学做题的过程，哪位同学做错了？错在哪里？
练习1
甲同学做的题是：计算3(x2-2xy-y2)-2(x2-3xy-y2)
解：原式= 3x2-6xy-3y2-2x2+6xy+2y2=x2-y2=(x+y)(x-y)
乙同学做的题是：计算(3x-2y)2-(2x-3y)2
解：原式=[(3x-2y)+(2x-3y)][(3x-2y)-(2x-3y)] =(5x-5y)(x+y)
=5(x+y)(x-y)=5x2-5y2
点评：上面沈老师的课中，练习1“以下从左到右的变形中，哪些是因式分解？”其实没有多大必要，有些变形虽然不是因式分解，但掌握这种变形也挺有必要。上面甲同学错在最后一步，这种错误倒是学生中较为常见的，是因式分解概念不清楚所致。乙同学的做法是正确的，这种利用因式分解来帮助我们进行整式的乘法的做法，在学生中少之又少。
同学们，因式分解时我们常有人发生错误，原因是多种多样的，下面请同学谈谈你在各种错误中，发生最多的错误是哪一种？
点评：让学生自己说自己的错误，能加强对错误的重视。可能较多的学生会说：没有分解到底、看不出分解的方法。为下面的练习2作好准备。
练习2
下列因式分解哪些是错误的？将错误改正。
点评：上述6道题除了第4题正确外，其余都有问题。1、2、3是没有分解到底，3、5、6在书写上不符合要求，即单项式应写在多项式前面，结果中不能含有中括号，相同的因式要运用同底数幂相乘的法则。这5道题的错误在平时作业中发生率极高。而第4题是利用乘法进行因式分解，这种做法在学生也是不多的，其实这是一种较好的方法。
同学们，要避免上面几种错误也不难，你只要牢牢记住：
先要提取公因式，然后试试用公式，留神结果能否分，分解到底要牢记。
上面6道题中有4道要分解2次，如果一道题要分解3次就更难了。现在要你考考别人，每个同学出一道因式分解的题，要求需要分解3次，然后前后4个人交换题目解一下。
点评：自己出题让别人做，每个学生一定很带劲，但有难度。可以让先编好题的同学说一说编题的经验，使其他同学有个借鉴。到这里可能会出现本课的第一个高潮。
好！下面我要看看大家因式分解的应用能力。
练习3
计算下列各题
点评：借助因式分解进行整式的运算是因式分解应用的一个方面，而利用因式分解进行有理数的计算（如8002 －1600×798+7982），在可以使用计算器的今天已经没有必要了。
练习4
解方程 
点评：因式分解是解一元二次方程的重要方法，但在已经删去了十字相乘方法以后，像x2+4x=12这样的方程就应该放到以后去做了。
练习5
如图正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，它们的周长和为12，E在AB上，G在AD上，阴影部分的面积是6，求EB的长。
练习6
给出整数a、b，在计算器上操作如下：
（1）当a=-3，b=2时，求输出的值；
（2）当输出的值为12时，问整数对（a，b）有哪几种可能？
（3）是否存在这样的整数对（a，b），使当输出的值为24？
点评：做第（2）题会有困难，可以让学生4人一组进行讨论，不会做也可以“凑”，看哪组“凑”出的整数对（a，b）多，估计学生是“凑”不全的，这时就到了本课的第二个高潮。教师归纳时用因式分解的方法，即a2-4b2=(a+2b)(a-2b)，再列表如下：
| a+2b | 6 | -6 | 2 | -2 |
| a-2b | 2 | -2 | 6 | -6 |
这样会产生4对整数对（a，b）（注：(a+2b)和(a-2b)必须同奇偶）。而第（3）题的答案是不存在的。
小结：
1、通过今天的复习我们更加清楚地知道，因式分解要注意的事项是 。
2、下面两句话是否正确
（1）我们可以利用因式分解进行整式计算
（2）我们可以利用整式计算进行因式分解
3、今天在我们所做的题目中，体现了较多的数学思想，如 ， 等。