学生妙解数学题

在我的教学过程中，经常会遇到学生解题方法比我简便的情况，以前我欣赏、感叹之后就不了了之，现在想想真是损失──亏大了。从现在开始我要记录我的学生难题妙解，所谓“教学相长”，这就是真实的写照。随着时间的推移，这样的妙解会越来越多，我的收获会越来越丰厚，这里的篇幅也就越来越长。

1、如图，已知Rt△ABC中∠B=30°，AC=2，作△ABC的高CD，作△CDB的高DC₁，作△DC₁B的高C₁D₁，……，就这样无限作下去，求图中阴影部分的面积。

1001班李灵剑的解法：

∵S_{\triangle{ACD}}:S_{\triangle{CDC_1}}=(\frac{2}{\sqrt{3}})^2=4:3；

S_{\triangle{DC_1D_1}}:S_{\triangle{C_1D_1C_2}}=(\frac{2}{\sqrt{3}})^2=4:3；……

一般地，S_白:S_黑=4:3，∴阴影部分面积=\frac{3}{7}S_{\triangle{ABC}}=\frac{3}{7}\times2\sqrt{3}=\frac{6}{7}\sqrt{3}。

2、如图，两个全等的等腰直角三角形内画一个内切圆和一个内切半圆，试比较圆和半圆面积的大小。

1001班龚勰的解法：

如图，将画有半圆的图形进行轴对称变换，发现原三角形与它的像的面积比是1:2，则半圆与它的像面积比也是1:2，所以原来圆和半圆的面积相等。

3、如图，将直线y=\frac{4}{3}x向右平移\frac{9}{2}个单位，与反比例函数y=\frac{k}{x}的图象交于A、B，与x轴交于C，且OA=2BC，求k的值。

1002班李慧、杨斌的解法：

过A、B作x轴的垂线AD、BE，垂足分别为D、E，设OD=3x，则AD=4x，CE=1.5x，BE=2x，OE=\frac{9}{2}+1.5x，

∴(\frac{9}{2}+1.5x)\times2x=3x\times4x=k，∴x=1，k=12.

4、如图，为了测量树高AB，小明站在离树15米的C处，标杆EF直立在CB之间，使小明的眼睛D、标杆顶E和树顶A在同一直线上，CF=1米，人目高1.6米，标杆高2.4米，求树AB高。

1002班宋杨的解法：

∵梯形CDEF的面积+梯形ABEF的面积=梯形ABCD的面积，

∴\frac{1.6+2.4}{2}+\frac{14\times(2.4+x)}{2}=\frac{15\times(1.6+x)}{2}，解出x=13.6。

5、如图，已知Rt△ABC中∠C=90°，D、E、F分别在三角形的边上，四边形DECF是正方形，AD=5，BD=4，求阴影部分的面积。

1002班陈云成的解法：

将△DFB绕D点逆时针旋转90°到绿色三角形的位置，容易求得面积为5×4÷2=10.

6、如图，半径为1的五听可乐罐用绳子紧紧地捆扎在一起，相邻两罐的圆外切，求捆扎一圈的绳子长。

2008届6班邹晨的解法：

如右图，假设再放进去一罐，则6个圆心ABCDEF组成正六边形。所以有OC∥AB，OE∥AF，∴∠O=120°，∵OC=2，∴CE=2\sqrt{3}。

故一周绳子的长=4\times2+3\times\frac{2\pi}{6}+2\times\frac{2\pi}{4}+2\sqrt{3}=8+2\pi+2\sqrt{3}。

7、从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm×11cm，如图甲。用尺量出整卷卫生纸的半径（r）与纸筒内芯的半径（R），分别为5.8cm和2.3cm，如图乙。那么该两层卫生纸的厚度为多少cm？（π取3.14，结果精确到0.001cm）

2007届小学6年级侯丹洁的解法：

圆环的面积等于所有卫生纸拉开后边缘（看做矩形）的面积，

设该两层卫生纸的厚度为xcm，则11×11.4×x×300=π(5.8²－2.3²) ×11

x≈0.026

答：设两层卫生纸的厚度约为0.026cm。

8、北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地100台，上海厂可支援外地40台，现在决定给重庆80台，汉口60台．假定每台计算机的运费是：北京厂运到汉口需400元，运到重庆需800元；上海厂运到汉口需300元，运到重庆需500元。求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?

2012届初二袁泽军的解法：

上海的运费均比北京便宜，其中到重庆的运费便宜得更多。所以上海的机器全部运给重庆运费就最低了，调运方案是：

上海给重庆40台、给汉口0台，北京给重庆40台、给汉口60台。

最低费用也就不难计算了（略）。

9、由偶数码组成（不包括0），且能被13整除的最小三位数是几？

小学2012届5年级钱佳琪的解法：

∵偶数码组成的最小三位数是222，222÷13=17……1，∴能被13整除的最小三位数是222-1=221，为了全是偶数码，只要把221连续加13，经过试验，加了5次13后满足条件，221+13×5=286.

文章以下部分已转至《学生妙解数学题2》