运用因式定理巧妙分解因式

因式分解是初中代数恒等变形的一种重要基本方法。它应用广泛,是解方程及代数运算的有力工具,具有很强的技巧性。我们除了要求熟练运用常用方法外,还需要掌握其它知识与方法。在这里,我向大家介绍一种分解因式很有用的定理──因式定理。它常与综合除法结合起来使用,在很多因式分解题目中会有用武之地。特别是在分解轮换对称式时常起到其它方法难以替代的作用。

下面我就为大家介绍一下因式定理与轮换对称式的定义及性质。

1、因式定理

如果有一个关于x的多项式,当x=a时其值为零,那么(x-a)是这个多项式的一个因式。反之也然。

2、对称式和轮换对称式

如果将一个多项式中任意两个字母对换,多项式恒等不变,那么这个多项式就叫做对称式。

如果将一个多项式中所有字母轮换(比如把x换成y,把y换成z,把z换成x),多项式恒等不变,那么这个多项式就叫做轮换对称式(简称轮换式)。

3、轮换对称式的性质

两个轮换对称式的和、差、积、商(假如除式能整除被除式)其结果仍是轮换对称式。

明白了上面的定义和性质,下面我们就利用它们解决下面一些问题。

例1  分解因式[latex]4a^4-3a^3-2a^2+3a-2[/latex]

分析:大家观察式子,发现当[latex]a=1[/latex]时,原式=0,根据因式定理,所以原式有因式[latex](a-1)[/latex];当[latex]a=-1[/latex]时,原式=0,所以原式也有因式[latex](a+1)[/latex]。再用综合除法解决问题。

解:∵当[latex]a=1[/latex]时,原式=0,∴原式有因式[latex](a-1)[/latex];

∵当[latex]a=-1[/latex]时,原式=0,∴原式有因式[latex](a+1)[/latex]。

由综合除法知[latex](4a^4-3a^3-2a^2+3a-2)[/latex]÷[latex](a-1)[/latex]÷[latex](a+1)[/latex]=[latex]4a^2-3a+2[/latex]。

综合除法的竖式见右。

∴原式=[latex](a-1)(a+1)(4a^2-3a+2)[/latex]。

说明:当一个关于x的多项式的各项系数之和等于0时,则这个多项式有因式(x-1);当它的奇次项系数和等于偶次项系数和时,则原式有因式(x+1)。记住这个结论,对我们解题有一定帮助。在一次因式分解竞赛中,最后一题我运用了这个方法,解题不费吹灰之力。

例2  因式分解[latex](ab+bc+ca)(a+b+c)-abc+(a+b)(b+c)(c+a)[/latex]

分析:粗一看式子,若将括号一个个打开后再分解,肯定将非常麻烦。但是,如果我们运用因式定理,原本很麻烦的式子可轻松分解。请看解法:

解:∵当[latex]a=-b[/latex]时,原式=0,∴原式有因式[latex](a+b)[/latex];

∵原式是三次轮换式,∴原式还有因式[latex](b+c)(c+a)[/latex]。

∴原式=[latex]k(a+b)(b+c)(c+a)[/latex]    [latex][k\in{Z}][/latex],

取a=b=c=1代入上式,得8k=16,解得k=2,

∴原式=[latex]2(a+b)(b+c)(c+a)[/latex]

思考:为什么设原式=[latex]k(a+b)(b+c)(c+a)[/latex] [latex][k\in{Z}][/latex]?这是因为等号两边都是三次式的缘故。

例3  因式分解[latex](x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5[/latex]

分析:本题若打开括号,目前我们还办不到。但我们发现这是一个五次齐次轮换式,所以本题应该思考能否用因式定理解题。请看解法:

解:∵当[latex]x=-y[/latex]时,原式=0,∴原式有因式[latex](x+y)[/latex];

又∵原式是五次齐次轮换式,∴原式又有因式[latex](y+z)(z+x)[/latex],

∴设原式=[latex](x+y)(y+z)(z+x)[m(x^2+y^2+z^2)+n(xy+yz+zx)][/latex]

[注:[latex]m(x^2+y^2+z^2)+n(xy+yz+zx)[/latex]是二次齐次轮换式]

取[latex]x=y=z=1[/latex]及[latex]x=y=1[/latex],[latex]z=-2[/latex],代入上式,得[latex]\left\{\begin{matrix} 3m+3n=30\\ 6m-3n=15\end{matrix}\right.[/latex],解之[latex]\left\{\begin{matrix} m=5\\ n=5\end{matrix}\right.[/latex],

∴原式=[latex]5(x+y)(y+z)(z+x)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)[/latex]

思考:为何设原式=[latex](x+y)(y+z)(z+x)[m(x^2+y^2+z^2)+n(xy+yz+zx)][/latex]?这是依据哪一条?

通过以上3例,我们可以发现,在因式分解(尤其是轮换对称式)时,因式定理往往能起到巨大的作用。在数学竞赛中,若我们能熟练使用因式定理这一员“虎将”,则会给我们的成绩带来更大的提高。我们不仅要充分重视认识它,更要在解题中做到灵活地运用它。

点评:2001届的徐磊是我教师生涯中最得意的一位门生,估计前无古人后无来者了。初中阶段看并做完了我家里所有的数学竞赛辅导书,学完了《新概念英语》,获得过英语竞赛宁波市一等奖,数学竞赛省二等奖,科学竞赛省二等奖等。初中毕业后考入宁波效实中学省理科班,高中毕业后被保送就读清华大学,大学毕业后被公费送到德国读研。

就读初中三年,在家苦读三年,从不玩电脑,基本不看电视,偶尔看看报刊。各学科平衡发展,没有一门课的成绩是年级第二的。哪怕生病住院15天,回校后依然如故。

前无古人后无来者……,呜呼……

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