一题多解源于创新思维

宁波市第七中学1706班

黄紫琳

（注：此文获江东区首届学生数学小论文一等奖）

学习数学一个重要的任务是解题，解题能帮助我们开拓思维，大胆创新，培养我们严谨的数学思发散思维和创造能，使我们具有良好的数学素养。解题思路清晰是解题的一大关键所在，所谓思路清晰，就是审题后从已知条件出发得出各种结论，或从结论出发探求得出这个结论所需要的条件，逐渐沟通条件和结论的联系。

解题方法因分析的思路不同而别，方法越多说明思维越灵活，知识掌握得越牢固、越熟练。数学题的一题多解并不少见，可就是解题的多种途径不容易被发现，人们常常会想不到许多解题方法，使之解题方法单一。下面以一道简单的与圆有关的几何题为例，说明一题多解是如何实现的。

题目：如图1，⊙O中AB，BC是弦，AB=BC，求证：OB平分∠ABC。

 

这道题我首先想到构造全等来证明∠ABO=∠CBO，原来没有的全等三角形是如何被构造出来的呢？我想到了利用半径构造全等三角形。

解法1

如图2，连结AO，CO，

∵AO=CO，AB=CB，OB=OB，

∴△ABO≌△CBO，

∴∠ABO=∠CBO。

圆的的半径处处相等，这是一个极有用的性质，本方法即用半径相等构造了全等三角形。其实利用直径也可以构造全等三角形，于是便有如下解法。

解法2

如图3，作直径BD，连结AD和CD，

∵∠A=∠C=Rt∠，AB=CB，DB=DB，

∴△ABD≌△CBD，

∴∠ABO=∠CBO。

本方法采用了定理“直径所对的圆周角是直角”，由于直径的这个作用，所以常有“见直径找直角”之说。

圆中还有一条非常有用的定理：在同圆或等圆中，两条弧、两条弧所对的弦、两个弧所对的圆心角、两条弦心距，这四组量中若有一组量相等，那么其余各组量对应相等。这个定理就能实现不同量之间的转化，我们称之为“等对等定理”。

如果我们将本题条件AB=CB转化为\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{BC}，即可利用弧的关系来证明角的关系。

解法3

如图4，作直径BD，

∵AB=CB，

∴\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{BC}，

又∵\stackrel\frown{DAB}=\stackrel\frown{DCB}，

∴\stackrel\frown{AD}=\stackrel\frown{CD}，

∴∠ABO=∠CBO。

弦的关系可以转化为弧、圆心角或弦心距的关系，所以说“等对等定理”是给我们转化用的。我们还可以想到利用定理“在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上”来解决本题。

解法4

如图5，作弦心距OE，OF，

∵AB=CB，

∴OE=OF（等对等定理），

∴∠ABO=∠CBO。

你看，弦心距沟通了弦和角之间的关系，可见弦心距是沟通关系的“桥梁”。我还想，学习了三角函数后，能不能发挥一下作用呢？经过思考方法找到了。

解法5

如图3，作直径BD，连结AD和CD，

∴∠A=∠C=Rt∠，

∵cos\angle{ABD}=\frac{AB}{DB}，cos\angle{CBD}=\frac{CB}{DB}，AB=CB，

∴cos\angle{ABD}=cos\angle{CBD}，，

即∠ABO=∠CBO。

此法用三角函数关系代替的全等三角形，所以三角函数不失为沟通边角关系的妙法。

还有其他方法吗？全等三角形用了，转化到弧解决用了，弦心距用了，三角函数用了，这些方法以外还有吗？连结AC是不是可以解决问题呢？许久，第6种方法诞生了。

解法6

如图6，连结AC，作AC的中垂线m，

∴直线m过圆心O（弦的中垂线必过圆心），

∵AB=CB，

∴直线m过点B（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的中垂线上），

∴∠ABO=∠CBO（三线合一）。

本方法弦的中垂线将两个定理用到了恰到好处，如果在图6中是延长BO，或作AC的弦心距，都难以进行推理，这就是为什么选用中垂线推理的缘故。

一道如此简单的题，居然找到了6中解法，实在是高兴啊！我想，应该还有更多的方法吧，聪明的你是否心动了，也想挑战一下自己？

数学好玩，解题锻炼意志品质，提高多种能力。愿我们在数学解题中，尤其是一题多解中，发挥我们的聪明才智，发挥我们的想象力和创造力，坚持不懈地对每个数学问题进行深入研究，找到解决问题的多种方法，比较各种方法的优劣，促进对问题的研究，善于发现问题、提出问题，提高分析问题和解决问题的能力，锻炼我们良好的数学品质。