一、原命题
如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为角平分线，求证：BC=BD+AD.
解：将点A 沿BD反射至BC上的E点，在BC作BF=BD，那么易证DE=DF=CF，
所以BC=BD+AD.
二、逆命题1
如上图，∠A=100°，BD为角平分线，BC=BD+AD.求证：AB=AC.
解：将点A 沿BD反射至BC上的E点，在BC作BF=BD，
由∠A=100°，知BD>AB，所以BF>BE，即F在EC之间，∴CF=DE，∠DEF=80°.
设∠DBC=∠ABD=α，则\angle{DFE}=90-\frac{1}{2}\alpha，\angle{C}=80-2\alpha，\angle{FDC}=10+\frac{3}{2}\alpha，
∵(CF-DF)^2\ge0，∴(CF-DF)(DE-DF)\ge0，
由大边对大角得，(\angle{FDC}-\angle{C})(\angle{DFE}-\angle{D}{EF})\ge0，
即[(10+\frac{3}{2}\alpha)-(80-2\alpha)][(90-\frac{1}{2}\alpha)-80]\ge0，解得\alpha=20^\circ，
∴∠ABC=∠C=40°，∴AB=AC.
三、逆命题2
如图，△ABC中∠A=100°，AB=AC，D在AC上，BD+AD=BC，求证：BD是角平分线。
证明：作等腰梯形ABEC和正三角形AEF，易证D,C,F共线，所以四边形ABEF是筝形，
因为AE=BC=BD+AD=AF=DF+AD，所以DB=DF，所以∠DBF=∠DFB=30°，
因为∠ABF=50°，所以∠ABD=20°，所以BD是角平分线。
四、逆命题3
如图，△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD+AD=BC，求证：∠A=100°。
解：在BC上取BE=BD，所以CE=AD，
∵BD是角平分线，∴\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{BC}{AB}
等量代换得\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{BC}{AC}，∴△CDE∽△CBA，
∴DE=CE，设∠C=2x°，那么∠DBE=x，∠BDE=∠BED=4x，
从而9x=180，x=20，∴∠A=100°.