几何中的基本模式（待续）

想加快解几何题的速度，就要牢记常见的几何命题的图形、条件和结论。我把它叫做“几何基本模式”。

“基本模式”虽然不是定理，虽然不能在证明过程中直接应用，但其作用不亚于定理，至少我们可以在填空题、选择题中加以应用，还可以运用它进行问题的分析，作为推理的依据，看清解题思路，加快思维速度。几何基本模式就是我们解题的经验，模式记得越多经验就越多。下面举例一一加以说明。

一、角平分线的基本模式

1、同旁内角的角平分线互相垂直

如图，直线a∥直线b，AC和BC是一对同旁内角的角平分线，那么AC⊥BC.

例1  如图平行四边形ABCD中，四个内角的角平分线围成一个四边形EFGH，请判别这个四边形是什么特殊的四边形.

解：由本几何模式可知，四边形EFGH是矩形.

2、邻补角的角平分线互相垂直

如图，OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，那么OD⊥OE.

例2  （天津2012）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

解决以上问题这要用到PO⊥PQ的结论。利用这个结论我们还可以证明CC’∥PO.

例3  如图，一张平行四边形纸片ABCD，E,F,G,H分别在四条边上，分别沿FG,GE,EH,HF将三角形AFG,BGE,CEH,DHF折叠，结果A和B都落在EF上的A’， C和D都落在EF上的C’，得到一个信封EHFG，若AD=10，AB=6，求EF的长。

 

解：由上述基本模式可知，四边形EHFG为矩形，所以EF=GH=AD=10.

3、平行线+角平分线\Rightarrow等腰三角形

如图，OC平分∠AOB，D、E分别在AO、CO上，DE∥OB，那么DE=OD.反之亦然。

例4  如图DB、DC分别平分△ABC的内角，过D点作EF∥BC交AB、AC于E、F，AB+AC=12，求△AEF的周长.

解：利用这个基本模式可得：ED=EB，FD=FC，所以△AEF的周长=AB+AC=12.

例5  如图，已知A(-8,0)，B(12,0)，C(0,-6)，D(2,0)，E在x轴负半轴，F在BC上，EF被CD垂直平分，求E,F的坐标。

解：连DF，那么CD平分∠ADF，又△ACD为等腰三角形，上面是模式告诉我们：角平分线、平行线和等腰三角形三个条件中，知其二推其余。故DF∥AC，所以DF是中位线，DF=AC/2=5=DE，这样就不难求得E(-3,0)，F(6,-3).

二、全等三角形的基本模式

1、角平分线+垂线\Rightarrow全等三角形

如图，D是∠CAB的边AC上一点，过D作∠CAB的平分线的垂线于F，交AB于E，那么△AFD≌△AFE。

例6  如图，△ABC的周长为8，BF、CG分别平分外角∠ABE和∠ACD，过A点作BF、CG的垂线，垂足为M、N，求MN的长。

根据基本模式，可以延长AM、AN交直线BC于P、Q，由基本模式的结论可知△AMB≌△PMB及△ANC≌△QNC，所以M、N是AP、AQ的中点，所以MN=PQ/2=8÷2=4。

2、两个全等的直角三角形一横一竖放\Rightarrow等腰直角三角形

如图1，△BCE是等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，A,D,B共线，那么△ABC≌△DEB。反之亦然。

如图2，正方形ABCD和正方形EFGH，那么四个直角三角形全等。反之亦然。

例7  如图，正方形ABCD中，A,B在坐标轴上，C,D在反比例\frac{k}{x}图象的第一象限分支上，求证：OA=OB.

解：如图作坐标轴的垂线，得到三个直角三角形全等。设OA=a，OB=b，那么D(a,a+b)，C(a+b,b)，所以a(a+b)=b(a+b)，a=b。

3、SSA基本模式

定义：我们把两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等的现象叫做“SSA”。

SSA有以下两条性质：
1.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形可能全等，可能不全等。（所以不能利用“SSA”判定两个三角形全等）
2.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形如果不全等，那么它们的面积相差一个等腰三角形。

例8  如图，已知△ABC和△A’B’C’中，使AB= A’B’=8cm，AC= A’C’=5cm，∠B=∠B’=30°, 如果△ABC和△A’B’C’不全等，求它们的面积之差是多少平方厘米。

解：由上面性质2可知，如果把这两个三角形重叠起来，就相差一个等腰三角形（如图）。
其中A与A’重合，B 与B’重合，设C’落在BC上，作高AD，那么由几何性质知AD=4，CD=3，S△ACC’=12，此即为问题的解。

例9  如图四边形ABCD中，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，求证：BD=CD。

图中的两个三角形有三对元素相等，但却不全等，这是因为“边边角”的缘故。于是可以用割补法，添出如下图的辅助线。

方法1、补上一个等腰三角形；方法2、割去一个等腰三角形；方法3、补上且割去半个等腰三角形。

三、特殊三角形中的基本模式

1、等边三角形中的基本模式

（1）一个等边三角形

①如图在正三角形ABC中，D、E分别在BC、AC上，BD=CE，BE,AD交于F，那么图中有2对全等三角形和4对相似三角形（不全等）,且有∠AFE=60°。

②如图在正三角形ABC中，D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=60°，那么图中的两个小三角形相似。

③如图D在正三角形ABC外，∠BDC=120°，那么AD=BD+CD，且AD平分∠BDC。

例10  如图，正三角形ABC中，D、E分别在BC、AC上，AE=CD=6，AD=9，求E到AD的距离。

分析：先证△ABD≌△BCE，后证△APE∽△BAE，还有∠APE=60°，再由AE^2=EP\times{EB}算出EP的长，即可知道EH的长。

例11  如图在正三角形ABC中，D、E、F分别在BC、AB、AC上，沿EF折叠，A落在D，如果BD=3，CD=5，求AE的长。

解：由上面的几何模式②可知△BED∽△CDF，设AE=x，CF=y，那么

\dfrac{8-x}{5}=\dfrac{3}{y}=\dfrac{x}{8-y}，解之x=\dfrac{49}{13}。

例12  如图菱形ABCD中，AB=AC，点E,F在AB,BC上，AE=BF，AF,CE交于G，GD和AC交于H，则下列结论中成立的有                                个。

①△ABF≌△CAE；②∠AGD=60°；③DG=AG+GC；④AD^2=DH\times{DG}；⑤△ABF≌△DAH。

由以上所列模式，不难证明5个结论均成立。

（2）两个等边三角形

有公共顶点的两个正三角形能组成一对全等三角形。

例13  边长为4的正三角形ABC如图放置在直角坐标系中，又正三角形BDE的顶点D在直线AC上移动，E在BD下方，那么E点经过的路径的解析式是                                      。

解：根据基本模式知直线CE与x轴的夹角始终为60°，故解析式是y=\sqrt{3}x-4\sqrt{3}。

2、直角三角形中的基本模式

作直角三角形ABC斜边AB上的高CD，得到的两个△ACD和△BCD与原三角形相似，我们称这个几何基本图形为母子三角形。

我们还可以得出母子三角形的另外几条结论：有两对锐角相等，有4对锐角互余，

CD^2=AD\times{BD}，AC^2=AD\times{AB}，CB^2=AB\times{BD}.

例14  如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．求四边形ADEF的周长.

由已知，DB=2，CD=2\sqrt{5}，由上面的模式，∠GBA=∠DCB，BD^2=DE\times{DC}，

所以DE=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}，又易证△ABG≌△BCD，故AG=DB=AD=2，

由△AFG∽△CFB，所以\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{AG}{BC}\dfrac{GF}{FB}=\dfrac{1}{2}，AF=\dfrac{4\sqrt{2}}{3},GF=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}，

EF=GB-GF-EB=2\sqrt{5}-\dfrac{2\sqrt{5}}{3}-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}=\dfrac{8\sqrt{5}}{15}.

所以四边形ADEF的周长=2+\dfrac{4\sqrt{2}}{3}+\dfrac{8\sqrt{5}}{15}+\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=2+\dfrac{4\sqrt{2}}{3}+\dfrac{14\sqrt{5}}{15}.

3、等腰三角形中的基本模式

（1）腰上的高与底边的夹角=顶角的一半

（2）顶角的外角=底角的2倍

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，延长BA至E，BD是高，那么

①∠DBC=\frac{1}{2}∠BAC；②∠EAC=2∠C。反之亦然。

（3）黄金三角形

一个内角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形一定可以分割成2个黄金三角形。腰与底边之比成黄金比。

请参见文章《36°之美》。

4、等腰直角三角形中的基本模式

（1）等腰直角三角形中的直角

（2）等腰直角三角形中的45°角

如图等腰直角三角形ABC中，AB=AC，

①若M是BC的中点，D在AB上，E在AC上，∠DME=Rt∠，那么△ADM≌△CEM，从而AD=CE，MD=ME，四边形ADME的面积等于△ABC面积的一半……反之亦然。

②D、E分别在BC上，∠DAE=45°，那么BD^2+EC^2=DE^2，△ABE∽△ACD。反之亦然。

例15  如图，B是双曲线y=\dfrac{1}{2x}第一象限上的动点，作BC⊥x轴，BA⊥y轴，交直线y=-x+1于D、E，求证：∠DOE=45°.

解法1：

∵CM=1-b=CD，AN=1-a=AE，BE=DB=a+b-1 ，

∴DE^2=MD^2+EN^2，将△OEN绕O点逆时针旋转90°可得证。

解法2：

DN=\sqrt{2}y_B， EM=\sqrt{2}x_B， DN\cdot{EM}=2x_B\cdot{y_B}=1=OM\cdot{ON}，

得△MOE∽△DNO，∠ODN=∠MOE，∠DOE=∠OMN=45°.

续文请点击：《几何基本模式（续）》