几何中的基本模式（续）

四、四边形中的基本模式

1、正方形

（1）正方形中的垂直线段

如图，在正方形ABCD中，EF⊥GH，那么EF=GH，反之亦然

例16  如图所示，现有一张边长为7的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点，AP=3，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，求FG的长。

解：连BP，作FM⊥AB于M，由上模式，因为BP⊥EF，所以△ABP≌△MFE，所以ME=AP=3，

设GF=CF=MB=x，那么EP=EB=3+x，AE=4-x，由△AEP中的勾股定理得，(3+x)^2=(4-x)^2+3^2，

解得x=\frac{8}{7}。

注：连结PF利用两个直角三角形的公共斜边，解法更为简单。

（2）正方形内45°角

如图，正方形ABCD中，E,F分别在DC,BC上，∠EAF=45°，那么有以下一些结论：

（1）BE+DF=EF；（2）△CEF的周长=2AB；（3）将△ABE和△ADF分别沿AE,AF折叠，B,D会落在EF上的同一点。

反之也然。

例17  如图所示，现有一张边长为7的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一个动点，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，问△DPH的周长是否变化？若不变，请求 出周长；若变化，请说明理由。

解：连BP,BH，作BQ⊥PH于Q，易证△APB≌△QPB，△QBH≌△CBH，这样就得到本模式，所以△DPH的周长不变化，周长为2AB=14.

例18  如图，直角梯形ABCD中，∠C=∠D=90°，BC=CD=4，AD=3，E在CD上，∠ABE=45°，求CE的长。

解：补全图形为正方形FBCD，则为本模式，设CE=x，那么DE=4-x，AE=1+x，由3^2+(4-x)^2=(1+x)^2，

解得x=2.6.

2、对角线夹角为60°的矩形

如图，矩形ABCD中，AC、BD交于O，AE⊥BD于E，那么下列论断中

①AB=AO；②∠AOB=60°；③E是BO的中点；④AB:BC:AC=1:\sqrt{3}:2；⑤∠ADB=30°；⑥AO:AD=1:\sqrt{3}.

已知其一必知其余。

例19  如图，矩形ABCD中，AC、BD交于O，AE⊥BD于E，E是BO的中点，∠BCD的平分线交EA延长线于F，交AD于G，已知AB=6，求FG的长。

解：由基本模式得知，△AOB为正三角形，易证∠ACF=∠AFC=15°，∴AF=AC=2AB=12，∠FGA=45°，

作FH⊥DA交延长线于H，那么∠FAH=60°，∴FH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AF=6\sqrt{3}，

∴FG=\sqrt{2}FH=6\sqrt{6}.

3、内角为60°的菱形

这是两个全等的正三角形拼成的菱形，若菱形ABCD满足下列条件之一，则必满足其余。

①AB=AC，②对角线之比为1:\sqrt{3}，③高AE平分BC，④在BC上任取一点M，作∠MAN=60°交CD于N，则△AMN是正三角形。

例20  菱形ABCD中，BD=\sqrt{3}AC，BD,AC交于O，BO,DO的中点分别为E,F，M,N是BC,DC上的动点，若EF=6，求四边形EFNM周长的最小值。

解：由基本模式得∠DBC=30°，作轴对称点E’和F’，那么E’F’=2BE+MN=6+3=9，所以四边形EFNM的周长的最小值为9+6=15.

4、3个全等的等边三角形拼成的等腰梯形

如图梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对于下列结论中：①∠C=60°；②BD⊥DC；③BD平分∠ABC；④BC=2AB；⑤AB=AD；⑥周长=5AD。已知两个便知其余。

例21  三个全等的正三角形拼成等腰梯形叫做正梯形，（1）正梯形有哪些性质？（写出6条）（2）写出3条正梯形的判定方法；（3）如图是4个全等的等腰梯形拼成的平行四边形，运用你写出的正梯形的判定方法求证：这样的等腰梯形是正梯形；（4）若AD=12，求梯形的对角线是长。

解：（1）即为本模式的6个结论，当然还有更多的结论可以得出。

（2）6条结论中已知2条即可判断正梯形。如果一个等腰梯形的腰长等于较小的底边，一个内角等于120°，那么这个梯形是正梯形。

（3）由图形结构可以看出，这个梯形满足“一个等腰梯形的腰长等于较小的底边，一个内角等于120°”，所以它是正梯形。

（4）∵AD=12，∴GH=4，∴BH=4\sqrt{3}.

5、两底之和等于一腰的梯形

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E在BC上。以下5个结论：①AB+DC=AD；②E为BC中点；③AE平分∠BAD；④DE平分∠ADC；⑤∠AED=90°.已知其中2条性质，必知其余。

例22  梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E是BC中点，AE平分∠BAD，AD=13，BC=12，求AE的长。

解：连DE，由本模式得∠AED=90°，DE平分∠ADC，AB+DC=AD。

所以△ABE∽△ECD，那么\begin{cases} a+b=13\\ ab=6^2 \end{cases}

∴a=4，b=9.

五、相似三角形中的基本模式

1、A字型；2、X型；3、不平行相似；4、两个公共

四种基本模式有如下关系：

对“两个公共”的基本模式特别说明：

有公共角和公共边的两个相似三角形叫做“两个公共”。两个公共具有两条重要性质：①公共边是同一直线两边的比例中项；②公共角所对的两边之比是相似比。

例23  如图，正三角形ABC中，D、E分别在BC、AC上，AE=CD=6，AD=9，求E到AD的距离。

解：由正三角形模式知△AEP∽△AEB，再由本模式得AE^2=EP\times{EB}，求出PE=4，

又由正三角形模式知∠APE=60°，故EH=2\sqrt{3}.

例24  如图Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，D在CB延长线上，∠DAB=∠C，DB=4，BC=5，求AB的长.BC

解：由“两个公共”模式得AD^2=DB\times{DC}，故AD=6，

再由“两个公共”模式的第二个结论得AB:AC=AD:DC=6:9=2:3，由勾股定理可求AB的长是\dfrac{10}{13}\sqrt{13}

例24-2  如图，AB是直径，BC,AD是弦，BD平分∠ABC，AC与BD交于E，AE=6，AB=8，求tan∠CEB。

解：由∠DAE=∠CBE=∠DBA得△ADE∽△BDA，所以tan∠CEB=tan∠AED=\dfrac{AD}{DE}=\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}.

5、等边三角形外的120°角

如图，△ABC是正三角形，D,E分别在CB,BC的延长线上，∠DAE=120°，那么图中有3对三角形相似，并有如下等式成立：

①AD^2=DB\times{DE}；②AE^2=EC\times{ED}；③BC^2=DB\times{CE}；

例25  如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=1，AC=2，一块含有60度的三角板的60°顶点与A重合，若三角板位于△ABC内部的三角形是正三角形，求这个正三角形的边长。（本题解答留给读者）

6、三个直角三角形

如图，△ABC中∠ABC=Rt∠，过B点任作直线DE，AD⊥DE，CE⊥DE，那么△ADB∽△BEC。

 

例26  如图，一块含30°角的三角板的直角顶点是坐标原点O，30°的顶点A在反比例函数\dfrac{m}{x}图象上，B在反比例函数\dfrac{2}{x}图象上，求m的值。

解：过A,B作x轴垂线，则得本模式，由相似三角形的性质可求m。（具体计算过程略）

7、三角形的内接矩形

如图矩形DEFG内接于上进心ABC中，高AH交DE于M，那么△ADE∽△ABC，且\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{DE}{BC}

例27  正三角形ABC的边长为2，按如图设计在里面剪出三个最大的正方形，求正方形的边长。

解：设正方形的边长为x，按本模式得\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{3}-2x}{\sqrt{3}}，得x=\dfrac{8\sqrt{3}-6}{13}.

8、一线三等角

如图，B,C,D共线，三个角都是α，那么两个三角形相似。

例28  如图，直线l_1、l_2、l_3相互平行，且l_1、l_2的距离为1，l_2、l_3的距离为2，等腰△ABC的三个顶点分别在三条平行线上，AB＝AC，∠BAC＝120°，则等腰△ABC的腰长是______________．

解：在l_1上取点D,E，使∠ADB=∠AEC=∠BAC=120°，由本模式△ABD≌△ACE，作BF⊥l_1，CG⊥l_1，不难求得AE=BD=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}，EG=\sqrt{3}，

故AC=\sqrt{(\dfrac{5\sqrt{3}}{3})^2+3^2}=\dfrac{2\sqrt{39}}{3}，

六、圆中的基本模式

1、圆内接等腰三角形；2、圆内接三角形的角平分线

（1）如图，△ABC内接于圆O，D是圆上一点，AD交BC于E，如果AB=AC，那么图中有6对相似三角形，

AB^2=AC^2=AE\times{AD}，DB\times{DC}=DE\times{DA}.

（2）如图，△ABC内接于圆O，D是圆上一点，AD交BC于E，如果AD平分∠BAC，那么图中有6对相似三角形，

BD^2=CD^2=DE\times{DA}，AB\times{AC}=AE\times{AD}.

 

例29  如上图2，△ABC内接于圆O，D是圆上一点，AD交BC于E，如果AD平分∠BAC，AB=1，AC=2，AD=3，求BD。

解：由本模式，1×2=3×AE，得AE=\dfrac{2}{3}，故BD^2=3\times(3-\dfrac{2}{3})=7，∴BD=\sqrt{7}.

3、圆内接梯形

圆内接梯形必为等腰梯形。

例30  如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长等于                                                  。

解：过B,C,D三点作⊙A，延长BA交圆于E，连DE，那么四边形EBCD为等腰梯形，BE=4，DE=BC=1，在Rt△BDE中，BD=\sqrt{15}。